Главная Промышленная автоматика.

В + (,А-С) rp = P(W-:-l).

аг dt

величину. Мы не приводим выкладок. Для их выполнзния мы отсылаем читателя к мемуару Лоттнера (Loft пег, Journal de Crelle, т. 50), к сочинениям Альфена (Halphen) и Гринхилла (Oreenhill), к сочинению Аппеля и Ла-кура, «Основы теории аналитических функций) (Principes de la Theorie des Fonctions elliptiques), к сочинению Клейна и Зомиерфельда (Ueber die Theorie des Kreisels) и к заметке Лакура (Nouvelles Annales de Mathematiques, 3= serie, T. XVIII, 18Э9).

В уже цитированной работе Гринхилла (Proceedings of the London Mathematical Society, T. XXV) содержатся интересные примеры приведения эллиптических интегралов, входящих в общее рещение, к интегралам псевдоэллиптическим. Несколько особенно изящных примеров мы укажем в упражнениях.

398. Кинематическая картина движения. Во втором томе нового издания трудов Якоби были впервые напечатаны фрагменты одной работы, в которой знаменитый геометр занимается движением тяжелого твердого тела вращения, закрепленного в одной из точек своей оси. Якоби доказал замечательную теорему о том, что движение тела может быть осуществлено наложением двух движений Пуансо. Альфен в заметке, помещенной в Comptes rendus, т. С, придал этой теореме другой вид и получил несколько новых результатов. Дарбу посвятил этому вопросу одну важную статью (Journal de Mathematiques, 1885) и несколько заметок, помещенных в конце Механики Депейру. А. де Сен-Жермен (Saint-Oermain) изложил эти результаты в Кратком курсе теории движения твердого тела вокруг неподвижной точки (изд. Готье-Вилляр) [Resume de la theorie du mouvement dun corps solide autour dun point fixe (Librairie Oauthier-Villars, 1887)].

Наконец, Гринхилл изложил эту теорию с точки зрения ее отнощения к теории эллиптических функций в заметке, помещенной в конце Математического ежегодника издания 1902 г. (IAnnuaire de Mathematiciens, издание Carre et Naud, 1902). Рамки нащей книги не позволяют изложить эти предложения подробно. Мы отметим наиболее существенные моменты в упражнениях в конце главы, указав вкратце доказательства (упражнения 16 и следующие за ним).

ЗЭ9. Случай интегрируемости Ковалевской. В работе, премированной в 1888 г. Парижской Академией наук и помещенной в т. XII Acta mathematica, Ковалевская рассмотрела новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Приведем сначала форму уравнений движения, из которой исходила Ковалевская.

Обозначим, как и ра-ньще, через у, у, f косинусы углов, которые образуют связанные с телом оси Oxyz с направленной вертикально вверх неподвижной осью Ozx, а через £, т), С -постоянные значения координат центра тяжести G относительно этих осей. Проекции веса Р на подвижные оси Охуг равны

- Py, - Py, - Py" и моменты его относительно тех же осей

Z, = -P(t,y" -Cy). М = - Р (Cy - £y"). = -P(5y-Y)-Три уравнения Эйлера принимают вид

A + {C-B)qrP (W - riY"),



dt dt dt

Проекции на подвижные оси переносной скорости Vg той же точки в системе подвижных осей равны

qf - n, n - pf, Pt - qi.

Проекции на подвижные оси абсолютной скорости этой точки равны суммам проекций относительной скорости Vr и переносной скорости Vg (п. 45). Но так как точка И неподвижна, то ее абсолютная скорость равна нулю. Следовательно, имеем

+ n-pf =0, di

+ pY-4t = o.

(59)

Эти уравнения, присоединенные к уравнениям (58), образуют систему шести уравнений первого порядка. Определяющих р, q, г, f, i, i в функции t.

Для этой системы известны из общих теорем два интеграла, алгебраических относительно р, q, г, 1, i, i. Это - интеграл энергии (п. 394) и интеграл площадей в горизонтальной плоскости XiOy,. К этим интегралам мы можем присоединить очевидное соотношение

( + i + i=l.

Вопрос сводится к нахождению нового интеграла. В случае Лагранжа и Пуассона (А - В, 5 = г] = 0) этим новым интегралом является г - Tq. В случае Ковалевской также предполагается, что эллипсоид инерции является поверхностью вращения, но к этому добавляется более сильное требование, чтобы

А = В = 2С.

Кроме того, предполагается, что центр тяжести G лежит в экваториальной плоскости, так что С = 0. В этом случае можно всегда выбрать в качестве связанной с телом оси Ох ось 0G, расположенную в плоскости экватора и тем самым сделать так, что т) = 0. Тогда три уравнения (58), если положить К

= с, примут вид

Умножая второе на / и складывая с первым, получим 2 (/ -f iq) = - г/ (/ + iq) + Cil.

К этим уравнениям присоединим три других, указанных уже Пуассоном. Если на оси Ог, отложить отрезок ОН, равный единице, то конец И ЭТОГО отрезка будет иметь относительно подвижных осей Oxyz координаты f, f, 7". Проекции на эти оси относительной скорости Vr точки И относительно подвижных осей равны

dt dY di



*) Имеются и другие случаи интегрируемости при частных начальных условиях. Изложение их см. в книге: С у с л о в. Теоретическая механика. (Прим. пер.)

Точно так же, умножая второе из уравнений (59) на / и складывая с первым, получим

(Т + IY) = - П (•/ + + il (р + iq). Исключая из этих двух уравнений, приходим к следующему:

[{Р + IqT- - с(Т + it)] =--ri [{р + IqY - с (Y + it)]

din [(p + i<y)2-c(f + ff)l .

Jt ~

Меняя i на -/, получим второе соотнощение такой же формы. Складывая это второе соотношение с первым, получаем

d\n\(p-lqr--c(i-\-fi)\ , d\n[(p - lqf-c{t-l-i)] - di + di -

откуда, интегрируя и потенцируя, находим

Кр + iqf - с (7 Ч- i-i)] \{Р - il) - с (7 - it)] = const.

Мы имеем таким образом новый алгебраический интеграл. Задача, как это показано в работе Ковалевской, может быть теперь закончена п-ри помощи квадратур. Наиболее простые способы приведения к квадратурам даны Кёт-тером (К б 11 е г, Acta math., т. XVII) и Колосовым (Math. Annalen, т. LVI).

Общий случай. Хюссон (Husson) доказал, что кроме рассмотренных нами трех случаев (случай Эйлера н Пуансо, случай Лагранжа и Пуассона, случай Ковалевской) нельзя получить для движения тяжелого тела с закрепленной точкой при произвольных начальных условиях третий алгебраический интеграл, отличный от интеграла энергии и интеграла моментов (см. Husson, Recherche des integrales algebriques dans le mouvement dun solide pesant autour dun point fixe. These, Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, 2-е serie, т. VIII, 1906; Sur un theoreme de M. Poincare relativement au mouvement dun solide pesant. Acta mathematica, т. XXXI, 1908).

Можно также указать на две статьи Штекеля (Paul S t а с к е 1, Ausge-zeichnete Bewegungen des schweren unsymetrischen Kreisels, Mathematische Annalen, т. LXV, 1908; Die reduzierten Differentialgleichungen der Bewe-gung там же, т. LXVII, 1909).

Частные начальные условия *). Частные начальные условия позволяют выполнить интегрирование в случаях, отличных от трех классических. Так, для частного случая, характеризуемого условиями С = О, А - В = 4С, можно привести интегрирование к квадратурам, если постоянная площадей на горизонтальной плоскости равна нулю. См. статью Колосова Sur le cas de М. Oo-riatchoff de la rotation dun corps pesant autour dun point fixe (Rendiconti del Circolo di Palermo, 10 августа 1902) с последующими заключениями Марко-лонго.

Другой частный случай указан в статье Николая Ковалевского Eine пене particulare Losung (Math. Annalen, т. LXV, 1908).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036