Главная Промышленная автоматика.


Эти свойства хорошо видны на гироскопических весах. Прибор состоит из двух тяжелых тел вращения Мит (рис. 233), насаженных на один и тот же стержень АОА, который движется вокруг точки О при помощи, например, подвеса Кардана. Перемещая массу т вдоль стержня, можно привести центр тяжести системы на ту или другую из полупрямых ОА или ОА. Если мы сообщим системе быстрое вращение вокруг ОА в положительном направлений и предоставим ее самой себе, то мы увидим, что ось ОА начнет вращаться вокруг вверх направленной вертикали в положительном направлении, если центр тяжести находится на ОА, и в противоположном направлении, если центр тяжести находится на ОА. В частном случае, когда центр тяжести находится в точке подвеса, вращение будет продолжаться только вокруг оси ОА, которая останется неподвижной. Прямая ОА будет в этом случае постоянной осью вращения.

В этой теории мы впервые встречаемся с неожиданным результатом, который обычно имеет место для тел вращения, находящихся в быстром вращательном движении вокруг своих осей. Если ось OGA волчка держать рукой неподвижно, пока волчку сообщается очень быстрое вращение вокруг этой оси, и затем предоставить тело самому себе, то, казалось бы, ось волчка под действием веса должна начать перемещаться в вертикальной плоскости z,OA. В действительности же эта ось, после того как она несколько наклонится вниз, выйдет из этой плоскости в направлении, почти перпендикулярном к ней, и заметно опишет круговой конус вокруг оси Oz,.

При рассматриваемых начальных условиях, опираясь на то, что Го очень велико, легко получить приближенные значения для в, <f, ф.

Так как un - т. е. cos 9а - cos 9 есть величина порядка \ , то того же

порядка будет и величина 8 - бд, вследствие чего можно положить e = Go--, где 1) - величина конечная. Тогда, разлагая coseo+-j в ряд и беря только первые два члена разложения, получим и = cos в = cos во - Д sin 6о = Uo - \ sin во. Внесем это выражение в равенство (56), разложим его правую часть таким же

Рис. 233.



а L sin brnt\

Значения 6 и ф определяют движение оси Ог. Если в них пренебречь периодическими членами, то они определят прямую линию, образующую с 61 постоянный угол и вращающуюся вокруг этой оси с постоянной угло-а

вон скоростью -.

ЛРГо

Спящий волчок. В рассмотренном сейчас частном случае мы предположили, что Ро = 0 = О, но что О < во < я. Посмотрим, что происходит в случае, когда бо равно О или я.

Возьмем, например, случай, когда во = 0, Ио=1. Тогда в начальный момент ось волчка вертикальна, центр тяжести находится над точкой опоры н волчок вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Гр. При этих условиях в предыдущей формуле (56) надо положить Uq = 1. Таким образом получится:

(fy=(i-«)4«o+«)-*4 (57)

в этом случае многочлен /(м), стоящий в правой части этого равенства, допускает двойной корень, равный 1, и простой корень, который больше чем -1.

При этих условиях ось волчка остается вертикальной. Действительно, и, являясь косинусом и будучи в начале равным 1, может либо оставаться постоянным, либо уменьшаться. Следовательно, при извлечении квадратного кория из обеих частей равенства (57) нужно будет взять отрицательное значение для Тогда время, нужное для того, чтобы и достигло какого-ни-

•образом по возрастающим степеням и удержим только первый член.

Получим:

;()=l(«sfn 60-6=).

Рещая это уравнение, найдем:

а sin во , , . о , л sin вп ,

П = (1 - cos бгоО. в = 9о + ,2° (1 - COS brot).

dill dffl

Точно так же, заменяя в производных и величину и через

И(- и ограничиваясь лищь первыми членами разложений по возра-

стающим степеням -3, получим:

откуда, интегрируя и полагая, что 9 и ф о(5ращаются в нуль при = О, найдем:

Sin brpt



il-u) Ya{\+u)-bhl

который равен бесконечности, так как подынтегральное выражение содержит в знаменателе множитель 1 - и. Следовательно, и не может приобрести никакого значения. Отличного от 1, и ось волчка остается вертикальной. Мы имеем так называемый спящий волчок. Остается исследовать, в каком случае полученное таким образом движение устойчиво.

Допустим, что волчок приводится во вращение вокруг своей оси симметрии каждый раз с одной и той же угловой скоростью Го, но что в начальный момент угол бо вместо того, чтобы быть в точности равным нулю, будет лишь очень мал, т. е. что «о очень близко к 1. Исследуемое движение будет устойчиво, если в последующем движении и также близко к 1 и неустойчиво в противном случае. Но на основании предыдущего и заключено между «о и другим корнем и, многочлена f(u), находящемся между -1 и -f 1. Следовательно, для устойчивости нужно, чтобы и,, так же как и Uq, было очень близко к 1. Другими словами, необходимо, чтобы угловая скорость вращения Го была такой, чтобы в многочлене относительно и

*М(«о-«)

корень «1, заключенный между -1 и -fl, был очень близок к 1 одновременно с Uq. Это условие будет выполняться, если Го достаточно велико. По этому поводу можно сослаться на заметку Клейна, французский перевод которой имеется в Nouvelles Annales de Mathematiques за 1897 г. 397. Интегрирование в эллиптических функциях. Уравнение

dt - - ~

~Vf{uj~Va{u-Ui){U2-u){u)

однозначно определяет и через эллиптическую функцию от переменного t. Чтобы выполнить это преобразование, достаточно применить метод, который был использован в задаче о сферическом маятнике (п. 277), заставив корни Ul, «2, и играть ту же роль, какую играли корни-о, р, f в задаче о маятнике. Эта аналогия отнюдь не является неожиданной и может быть доведена до полного совпадения, так как задача о сферическом маятнике является лишь частным случаем рассматриваемой .задачи - случаем, когда тяжелое тело состоит из одной точки, помещенной в центре тяжести.

После того как а или, что то же, cos в будет выражено в функции t, можно определить 9 и ф в функции t из уравнений

ddi р - Ьгри d<f р - Ьгри Ж~~Г-и- dt "о " 1-и2

в виде квадратур над эллиптическими функциями, которые могут быть выполнены при помощи функций Якоби в и . Величина и является эл.тапти-ческой функцией переменного t с вещественным периодом Т, причем

По истечении времени " величины -jf • следовательно, 6 принимают первоначальное значение. Функции ф и 9 увеличиваются каждая на постоянную

будь значения, отличного от 1, определяется интегралом





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037