Главная Промышленная автоматика.

которое получается после подстановки этой величины в /(и), имеет тот же знак, что а-В зависимости от того, будет ли этот мно-

житель положительным или отрицательным, величина в первом

случае будет заключена между пределами и ag, а во втором - не будет заключаться между ними. В промежуточном случае величина

а - может равняться нулю. Тогда Д- равно одному из пределов

Й! или «2- Легко видеть, что оно всегда будет и. В самом деле, положим

- l<i<l, a = fll-. Тогда /(и), если заменить а этим значением, обратится в следующее:

(*Foh - -0 (?7„ - «I •

Один из корней, заключенных между -1 и очевиден; дру-

гой должен обратить в нуль выражение в квадратных скобках; сле-

довательно, он делает ----и положительным, и потому он меньше

чем . Таким образом, значение г- может иметь лишь больший

корень и поэтому точки возврата могут находиться лишь на верхней параллели Cg. Этот последний случай возникает при легко осуществимых начальных условиях, которые будут изложены в следующем пункте.

В случае формы III (рис. 232) при изображении на чертеже предположено, что полное изменение ф, соответствующее периоду полного колебания и от до и от до Ир отлично от нуля и имеет тот же знак, что и элементарное изменение этого угла в момент, когда и достигает своего наименьшего значения Строгое доказательство этого свойства завело бы нас слишком далеко; оно может

(рис. 232). Если равно одному из пределов, то опять будет

сохранять знак, но тогда кривая имеет точки возврата на параллели, соответствующей этому пределу (рис. 232, ).

Эти три случая легко различаются по начальным условиям. Если

i по абсолютному значению превосходит 1, то оно не может за-

ключаться между Kj и и. Если абсолютное значение величины меньше 1, то выражение



«о -"1 =

Таким образом, Ug - и, положительно и второй предел меньше первого. Следовательно, является самым большим корнем, который мы в общем случае обозначили через Иг- Поэтому предельный круг С,, соответствующий корню и,, расположен под кругом С, соответ-

быть найдено в заметке Адамара (Н а d а m а г d, Bulletin des Sciences mathematiques, 1895, 1-я часть, стр. 228).

Может случиться, что наибольший корень равен 1. Тогда верхняя параллель выродится в полюс z, сферы. Этот случай представится, в частности, тогда, когда ось Oz в начальный момент совпадает с направленной вверх вертикалью.

396. Частный случай. Рассмотрим волчок, движущийся вокруг закрепленной точки О своей оси. Удерживая конец z оси волчка рукой, расположим ось так, чтобы она образовала с вертикалью угол б,,, отличный от 0 и от я. После этого сообщим волчку при помощи, например, навернутой на него нити очень большую угловую скорость Го вокруг оси Oz. Пока конец z оси волчка удерживается рукой, волчок представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг своей главной оси Oz; угловая скорость сохраняется, и давления в точке О и на пальцы будут такими же, как если бы волчок не вращался (п. 360, частный случай). Что произойдет, если отпустить конец г? Волчок будет тогда двигаться вокруг точки О, и движение будет происходить согласно предыдущим законам. В рассматриваемом случае волчок вращается сначала вокруг оси Ог; следовательно, начальные значения и величин р и q равны нулю.

Мы положили cos б = и и уравнения п. 395

р2 2 - а - аи, sin б (р sin ср -f- cos tp) = р - Ьга

показывают тогда, что в начальный момент

а - аи-О, р -6гоИо = 0,

где Uq равно cos6o. Заменим постоянные аир этими значениями. Имеем:

=(«о-«) [а(1 -«2) *V2(«„ - и)]. (56)

Для того чтобы ("J оставалось положительным, а должно колебаться между значением Ид и некоторым значением а,, содержащимся между -1 и -f-1, и обращающим в нуль величину, заключенную в квадратных скобках, для которой, следовательно,

«0-«i)-*-oK-«i)==o-

Отсюда находим

а(1-«?)



а,=

показывает, что будет мало отличаться от м,. Конус, который представляет собой геометрическое место осей Ог, будет заключен между двумя очень близкими круговыми конусами. При этом вращательное движение плоскости zfiz будет происходить весьма медленно. Действительно, мы имеем:

d bro(uo-a) dt Х - и"-

и так как Uq-u остается меньше, чем - т. е. меньше, чем -, то получаем по абсолютному значению

<

\ -1/

&Го(1-«2)

1 - «1

одесь множитель остается очень близким к единице, так как и очень близко к и. Поэтому остается очень малой величиной

порядка ~. Итак, icin тело заставить быстро вращаться вокруг

оси Ог и затем предоставить его самому себе, то оно будет казаться продолжающим вращение вокруг этой оси, которая в свою очередь покажется вовлеченной в медленное вращательное движение вокруг оси Oz, и эти вращения будут совершаться либо оба в положительном направлении, либо оба в отрицательном направлении вокруг соответствующих осей Ог и 00.

ствуюшим корню Мо- кривая, описываемая на сфере точкой z, будет касаться первого круга. Однако на основании того, что мы сейчас видели, она будет нормальна ко второму кругу, так как обращает в нуль величину р - Ьги (рис. 232, ). D db

выражение в рассматриваемом частном случае принимает вид

ЬГр (Up -и) dt 1 ц2 •

г- dh

Следовательно, ~ сохраняет постоянный знак, совпадающий со знаком г. Отсюда следует, что вращение плоскости zfiz вокруг оси Ozj происходит все время в одном и том же направлении, которое совпадает с направлением начального вращения вокруг оси Ог или 00, так как 00 выбрано в качестве положительного направления оси вращения.

Предположим, кроме того, что начальное вращение Гд весьма велико. Тогда равенство





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036