Главная Промышленная автоматика.

(49)

(51)

£[ф Р - бГрЦ

dt ~ 1 -м2 • а третье

Многочлен /(и) отрицателен при значениях а, равных - оо, -1 и и положителен при и = ~\-со и при начальном значении и,

равном Ид. (Кроме того, при и = и величина будет вещественной.) Следовательно, многочлен имеет три вещественных корня а,, «2, и, заключенных соответственно в промежутках

(-1. Но). (Но. +1). и (+1. +0О).

Мы можем поэтому написать:

/{а) = а(а - а,) (а - и) (а - и),

где последний множитель существенно положителен, так как и, будучи косинусом, всегда заключен между -1 и --1. Величина а, начиная с Ид, должна все время оставаться в промежутке между

12 Зак. 922, п. Аппель, т. И

Углы у, 9, ф связаны а р, q, г отношениями: р -i sm 9 sin ср -- 2 cos ср,

9 == sin б cos ср - sin ср,

r = cos9+.

Подставляя эти значения в вышенаписанные уравнения, мы приведем их к виду

sin2 9 = p -йгосозб.

Исключая из первых двух, получим уравнение для б: (Р - *Го cos 9)2 4- sin« 9 ( sin* 9 (а - а cos 9). Полагая в нем cos 9 = и, получим:

(жГ = («-««)( 1 - - (Р - bruf - / (а). (50)

Второе из уравнений (49) примет теперь вид



И 2 ДЛЯ ТОГО, чтобы f{u) оставалось положительным. Отсюда следует, что угол 6 колеблется между двумя предельными углами 9j И 62 (9i > 92) косинусы которых равны и и,. Когда и возрастает от Ui до «2- издо брать

При уменьшении и от до нужно брать знак -.

Если описать вокруг оси Ог (рис. 232) два круговых конуса Q и С2 с вершиной в точке О и с углами при вершине 26j и 263, то ось Ог будет постоянно заключена между этими двумя конусами. Для изображения опишем из точки О как из центра сферу единичного радиуса, которая пересечет оба конуса Q и по параллелям СС


и С2С2 с общим полюсом 2i, где буквой 2i обозначена точка пересечения сферы с осью 01. Точка г, в которой ось вращения Ог пересекает сферу, характеризуется величиной и. Она всегда заключена между двумя параллелями и описывает кривую, идущую от одной из них к другой. Когда эти две параллели очень близки между собой, ось тела описывает приближенно круговой конус вокруг оси Ог. Когда начальные условия таковы, что обе эти параллели совпадают (аа,), то ось Ог описывает совершенно точно круговой конус с осью Ozj. В общем случае кривая, описываемая точкой г, касается обеих окружностей и С,- В самом деле, определим положение точки г на сфере с помощью дуги гг - Ь и полярного угла XiZiZ = x, образуемого дугой гг и меридианом гх. Этот угол измеряется дугой Xj/i большого круга с полюсом г. Так как прямая 01, которая образует с осью Ох угол ф, перпендикулярна

к плоскости гОг, то дуга п/ равна у и

Так как

- VJ W, af~ dt~~ 1 -



или на основании (54)

то, исключая dt, находим

(р-бгоо) (54)

(1-ц2)у-/(„)

Это - дифференциальное уравнение кривой, представляющей собой геометрическое место точек г. Из этого уравнения при помощи одной квадратуры получаем у в функции и и, следовательно, в функции 6.

Угол V, который образует касательная к геометрическому месту точек Z с меридианной дугой г,г, определяется формулой

- м

что непосредственно видно из прямоугольного треугольника zmz, образованного бесконечно малой дугой кривой zz, дугой параллели zm и дугой меридиана mz. В этом треугольнике угол в точке z есть V, дуга mz равна db и дуга mz равта sin 6 dy, поскольку радиус этой дуги равен sin 6 (рис. 232, /). Так как мы положили cos 6 = а, то имеем:

Угол V делается прямым всякий раз, когда и принимает одно из значений и, или и, обращающих /(и) в нуль. Кривая действительно касается обеих параллелей (рис. 232, / и /). Исключение будет лищь в том частном случае, когда один из пределов и, и обращает в нуль числитель р - broU. Тогда на соответствующей параллели tgV обратится в нуль и кривая будет иметь на этой параллели точку возврата (рис. 232, ). Ниже мы покажем, что такое обстоятельство может случиться только на верхней параллели С-

Чтобы увидеть, какие различные формы может иметь эта кривая, посмотрим, в какую сторону может вращаться на сфере дуговой радиус-вектор zz.

На основании соотнощения

dy d< р - broU

dt~dt~ Х - и"-

dy р

величина сохраняет один и тот же знак, если значение .

обращающее в нуль числитель, не заключено между и, и и. Тогда дуга zz будет вращаться все время в одну и ту же сторону и кривая будет иметь форму / (рис. 232). Если i заключено между и, dy

и то то положительно, то отрицательно, и дуга z,z поворачивается то в одну, то в другую сторону. Кривая имеет форму III





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036