Главная Промышленная автоматика.

и 1, Для этого достаточно подходящим образом выбрать эллипсоид и плоскость, по которой он катится. Этим путем можно получить легко заметные изменения угловой скорости, так как она удваивается или увеличивается в пять раз. Но в случае движения твердого тела катящийся эллипсоид является эллипсоидом инерции, и для него А< В -{-С. Это неравенство ограничивает выбор катящегося эллипсоида и приводит к тому, что отношение наименьшего значения угловой скорости к ее наибольшему значению будет обязательно заключено между 1 и . Это будет доказано

в упражнениях. Можно, наконец, осуществить условия, при которых указанное отношение будет сколь угодно близко к этий двум пределам. Изменение будет, таким образом, очень слабым н поневоле потребует большого внимания, чтобы быть замеченным. Следовательно, неравенство А < В -\- С, приводит, с одной стороны, к отсутствию точек перегиба у герполодии, а с другой -к некоторой устойчивости значения угловой скорости.

Исследования Альфена и Гринхилла. Гринхилл, интересные исследования которого о случае, когда задача о сферическом маятнике приводится к псевдоэллиптическому интегралу, мы уже цитировали, указал также случай, когда и задача Пуансо приводится к псевдоэллиптическому интегралу. Эти исследования изложены в его <Эллиптических функциях» (Fonctions elliptiques) и в работе «Оп pseudo-elliptic Integrals and their dynamical application* (Proceedings of the London Mathematical Society, т. XXV). Наиболее простой случай, приводящий к алгебраической герполоднн четвертого порядка, отмечен впервые Гальфеном (Halphen). В этих исследованиях, имеющих исключительно геометрический и аналитический характер, Гальфен и Гринхилл предполагают, что по неподвижной плоскости П катится произвольная центральная поверхность второго порядка, так что в уравнении этой поверхности

Ах"- + ВуЗ 4- Сгз = 1 (43)

коэффициенты произвольны и могут быть отрицательными (см. Halphen, Fonctions elliptiques, т. II, стр. 282).

Теорема Сильвестра. Сильвестр показал, что оба способа воспроизведения движения, предложенные Пуансо, являются частными случаями бесконечного множества других, которые могут быть получены следующим образом: построим поверхность второго порядка, подобную поверхности второго порядка, софокусной с эллипсоидом инерции, и заставим ее катиться и вертеться по плоскости П, параллельной неподвижной плоскости П, находящейся на постоянном рассхоянии ОР от центра и совершающей равномерное вращение вокруг ОР (Philosophical Transactions, 1866). Мы ограничиваемся лишь формулировкой этого предложения, которое читатель может доказать в виде упражнения и доказательство которого было указано Дарбу (примечание к Mecanique de Despeyrous).

III. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

394. Интегралы, получаемые из общих теорем. Рассмотрим тяжелое твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О. Примем в качестве неподвижных осей три оси Ох, Оу., Ozi, из которых ось OZi направлена вертикально вверх; в качестве подвижных осей Ох, Оу, Oz, связанных с телом, примем три главные оси инерции в точке О с теми же обозначениями, что и раньше. Обозначим через М всю массу тела, через у], Ci -



координаты его центра тяжести О относительно неподвижных осей и через I, 7), С - координаты той же точки О относительно подвижных осей. Совершенно очевидно, что координаты i, f\, С постоянны. Тогда можно написать два следующих первых интеграла: 1°. Интеграл кинетической энергии. Так как кинетическая

энергия тела равна у {Ар ~\-Bq-\-Сг) и единственной силой, действующей на тело, является его вес Mg, приложенный в точке О, то

d 1 {Ар + Bq + Сг) = -Mg d:,,, I

Ар + Bq -\-Cr = - 2Mg, + h. .j

2°. Интеграл площадей. Внешними силами, действующими на тело, являются реакция неподвижной точки, пересекающая ось Oz„ и сила тяжести Mg, параллельная этой оси. Сумма их моментов относительно оси Oz, равна нулю; следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси Oz, постоянна; теорема площадей применима к проекции движения на плоскость х,Оу,. Мы

видели, что проекции главного момента количеств движения Оа на оси Ох, Оу, Oz равны Ар, Bq, Cr. Поэтому его проекция на ось Ог, равна

Ap-BqY + Crf. Так как эта проекция постоянна, то мы имеем второй интеграл

Api-\-BqY + Cri" = K. (45)

Если тело произвольно И расположение в нем центра тяжести также произвольно, то нет других интегралов, кроме двух указанных. Только при некоторых частных предположениях о форме тела и о расположении в нем центра тяжести можно найти третий интеграл. Такими частными случаями, уже получившими решение, являются следующие:

1°. Случай Эйлера и Пуансо. Тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О. Это - случай, исследованный в предыдущем разделе.

2°. Случай Лагранжа и Пуассона. Эллипсоид инерции, построенный в неподвижной точке, является эллипсоидом вращения, и центр тяжести находится на оси вращения.

3°. Случай Ковалевской. Эллипсоид инерции, построенный в неподвижной точке, является эллипсоидом вращения вокруг, например, оси Ог, центр тяжести находится в плоскости экватора (С = 0) и выполняется соотношение

Л = В = 2С.



Мы рассмотрим наиболее простой случай, ц именно случай Лагранжа И Пуассона. Эллипсоид инерции в точке О предполагается эллипсоидом вращения, и центр тяжести находится на оси вращения.

396. Случай Лагранжа и Пуассона. Примем за ось Ог ось вращения эллипсоида инерции относительно точки О, а за положительное направление на этой оси возьмем направление 00, идущее от начала координат к центру тяжести О. Тогда А -В, $ = 7) = О, С> 0. Кроме того, Ci = Ccos6, так как 6 есть угол между осями Ог и Ог. Посмотрим сначала, во что обратятся оба интеграла (44) и (45), которые существуют всегда. Прежде всего по теореме кинетической энергии имеем:

А (р + q) + Сг = - 2Mg:i + А =г - 2Mg, cos 9 -f h. (46)

Далее, написав, что проекция главного момента количеств движения Оо на ось Zi есть постоянная АГ, и вспоминая выражения •j, Y s функции 9 и ср, получим на основании равенства (45):

Ар sin 9 sin ср -f- Aq sin 9 cos tp -f- Cr cos 9 - /С. (47)

К этим двум интегралам мы присоединим уравнение Эйлера

C§ + iB-A)pq=N,

которое в данном случае принимает вид

= 0 или г -Го. (48)

так как В - А н N равны нулю. Эти три уравнения можно написать следующим образом:

р-{-д = а - acoib, sin 9 (/7 sin ср + 7 cos ср) = р - Ьг cos 6,

Г = Го,

где а, b - положительные постоянные коэффициенты, соответственно равные " "л " Р - произвольные постоянные интегрирования.

Мы будем в дальнейшем предполагать, что отлично от нуля. Если Го -О, то движение оси Ог тела будет тождественно с движением нити сферического маятника (п. 277).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036