Главная Промышленная автоматика.

чг= - ----

?УвУь-р YBb

и, полагая УВб = X, получим

Yb еУ- + е-г р 2 •

Это - уравнение спирали, изображенной на рнс. 230.

Уравнения (35) и (38) можно получить, исходя также нз замечания, что абсолютная скорость, с которой полюс т описывает герполодию, равна в каждый момент времени относительной скорости по отношению к осям Oxyz, с которой точка М описывает полодию. Это вытекает из того, что соответ-счву.ющие дуги обеих кривых одинаковы. Тогда получаются два уравнения, если написать, что равны проекции этих двух скоростей на Рт и что равны моменты этих двух скоростей относительно ОР.

Аналогичные выражения найдем путем перестановки букв для Sy и Подставляя найденные выражения в равенство (36), получим после замены УТИ величиной fx yiD:

§-(-+«+-)-

Заменим, наконец, в этом равен§тве х, у, <fl их значениями (34) в функции и мы получим после сокращений соотношение вида

P = tx(P + £). (38)

где Е обозначает постоянную --АВСВ -~ -abcD.

Соотношения (35) и (38) определяют р и х в функции времени. Исключая из них dt, получим уравнение герполодии

dy = (P + E)dp 3

р )/ (р2 й)(р2-*)(рЗ-С)

которое позволяет найти х через квадратуру.

Таким образом, можно построить герполодию и проверить, что она не имеет точек перегиба, для чего нужно вычислить радиус кривизны в функции р и доказать, что он никогда не обращается в бесконечность. Этот результат вытекает нз неравенства А< В-\-С, связывающего три момента инерции. Кроме того, мы видим, что герполодия не имеет точек возврата, так dy

как не обр.эщается в нуль при значениях р2, лежащих между а и ft.

Если эллипсоид инерции заменить произвольным эллипсоидом или гиперболоидом, который заставляли бы катиться и вертеться по неподвижной плоскости П, го соответствующая герполодия может иметь точки перегиба или возврата. Может также случиться, что радиус-вектор Рт не будет все время вращаться в одном и том же направлении. Мы отсылаем за более подробным рассмотрением этого вопроса геометрии к заметке Дарбу (Mecanique de Despeyrous) н к работе Гесса, а по поводу выражения i в функции времени к Traite Гринхилла (гл. III).

В частном случае, когда В = D, тогда Е, а н с обращаются в нуль, и квадратура, определяющая х> может быть выполнена в элементарных функциях. В этом случае



Герполддиограф Дарбу и Кёнигса. Картина движения, которую дал Пуансо, обладает тем недостатком, что в ней не представлено время. Действительно, если материально осуществить оба конуса, имеющих вершины в точке О, а основаниями полодию и герполодию н если при помощи какого-нибудь сцепления заставить один из них катиться по другому, то еще не будет получаться полное представление движения, так как, кроме того, необходимо катящемуся конусу сообщить мгновенную угловую скорость, которая в каждое мгновение пропорциональна От. Дарбу доказал (заметка в Mecanique de Despeyrous), что можно построить прибор, выполняющий зто условие, если к предыдущему представлению движения присоединить другое представление, также принадлежащее Пуансо.

Пусть, как и раньше, т есть точка касания эллипсоида инерции с плоскостью П, а Р-проекция центра О на плоскость П. Проведем через центр О (рис. 231) эллипсоида плоскость П, параллельную неподвижной плоскости П,

и обозначим через т проекцию точки т на плоскость П. Мгновенную угловую скорость вращения (о = От Yh, направленную вдоль От, можно разложить на две, из которых одна, направленная по ОР , имеет постоянное значение (л = = OPYh а другая, направленная по От, равна

От Y~h- Если сообщить плоскости П постоянное вращение с угловой скоростью (J. вокруг ОР, то движение эллипсоида относительно плоскости П, которая станет, таким образом, подвижной, приведется в каждый момент к одному вращению вокруг От. Во время движения положение прямой От меняется как в теле, так н в пространстве. В теле оно описывает конус (С) второго порядка, а в пространстве оно описывает плоскость П. Относительное движение эллипсоида по отношению к плоскости П, которая становится подвижной, приводится, следовательно, к качению конуса (С) по этой плоскости, причем относительная угловая скорость качения постоянно равна О/иУТ.

Следовательно, движение тела представляется качением конуса (С), неизменно связанного с телом, по плоскости П, причем это качение осуществляется с мгновенной угловой скоростью От "УЛ, в то время как плоскость вращается с постоянной угловой скоростью у. вокруг своей нормали О Р.

Проверим тепе-рь, будет лн действительно конус (С) поверхностью второго порядка. Для составления уравнения этого конуса будем искать геометрическое место различных, положений точки т относительно осей Охуг эллипсоида. Так как точка т (х, у, г) лежит на нормали к эллипсоиду инерции в полюсе т {х, у, г), то

х - X у -у г - г Ах By Сг ~

и так как эта точка лежит в плоскости П, параллельной касательной плоскости к эллипсоиду в точке т, то имеем также

Ахх + Вуу + Сгг = 0. (41)


Рнс. 231.

(40)



Мы обозначили через I общее значение отношений (40). Определим иа них х, у, г и подставим в равенство (41). Получим

Ах + Ву2 4- Сггз + X (2je2 4.522 4. сз) = 0.

На основании уравнений (29) н (30) полодин, первый член этого отношения равен 1, а второй равен XD. Следовательно,

и из соотношений (40) получаем для координат точки т значения

D - A , D - B , D-C х=х-, у=у-,

Таким путем можно определить геометрическое место точек т, зная геометрические места точек т. Так как полодия, геометрическое место точек т, лежит на конусе

Ах (A - D) + Ву2 (В - />) + Сгз (С- />) = О,

то геометрическое место точек т лежит на конусе (С), определяемом уравнением

Ву2 cz

A-D+ B-D C~D

Таково уравнение конуса (С), геометрического места прямых О/и в теле. Оно действительно второго порядка.

Установив это, вернемся к движению. Сопоставляя оба способа воспроизведения движения, данных Пуансо, мы вндим, что, в то время как центральный эллипсоид катится по неподвижной плоскости П, конус (С), неизменно связанный с телом, катится по плоскости П, а последняя вращается с постоянной угловой скоростью (1 вокруг ОР.

Допустим теперь, что конус (С) с неподвижной вершиной в точке О и плоскость П осуществлены материально, приЧ[ем плоскость П может вращаться вокруг ОР, а конус (С) при помощи зубчатого зацепления вынужден катиться по плоскости П. Предположим, с другой стороны, что полодия, материально осуществленная на эллипсоиде, вынуждена при помощи зубчатого зацепления или достаточно большого трения катиться по плоскости П. Наконец, вообразим, что тело совершает свое движение. Тогда оно увлекает конус (С), который, катясь по плоскости П, заставляет ее вращаться с постоянной угловой скоростью. Наоборот, если при помощи часового механизма заставить плоскость П вращаться вокруг ОР с постоянной угловой скоростью, то эта плоскость увлечет конус (С), который в свою очередь заставит полодию катиться по плоскости П в соответствии с законом движения. Именно по этому принципу Дарбу и Кённгс сконструировали прибор «герполоднограф», который позволяет вопроизводнть всю кинематику движения твердого тела. Мы не входим здесь в подробности конструкции этого прибора, описание которого можно найти в статье Кбнигса (Koenigs, Revue generale des Sciences, 30 апреля 1891). Закончим замечанием, принадлежащим Кёнигсу (Bulletin de la Societe mathematique de France, т. XVIII, стр. 163 и 131). Главной целью прибора является демонстрация закона изменения скоростей, и поэтому желательно, чтобы это изменение было достаточно заметно и бросалось в глаза. К сожале11ию, в этом отношении приходится быть весьма ограниченным. Если по неподвижной плоскости заставить катиться произвольный эллипсоид с закрепленным центром при соблюдении закона Пуансо, т. е. с угловой скоростью, пропорциональной диаметру точки касания, го отношение наименьшего значения угловой скорости к Наибольшему ее значению может принимать любые желательные значения между О





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037