Главная Промышленная автоматика.

которой эллипсоид будет касаться в новом движении, будет бесконечно близкой к По и перпендикуляр ОР, опущенный из О на эту плоскость, будет бесконечно близким по величине и по положению к ОД,. Радиус-вектор От герполодии, имея длину, бесконечно близкую к Ойо. отклонится бесконечно мало от перпендикуляра ОР, т. е. от Ouq. Следовательно, мгновенная ось опишет также и в пространстве конус, бесконечно близкий к своему первоначальному положению. Таким образом, рассматриваемое вращение устойчиво. То же будет и в случае вращения вокруг большой оси.

Но если тело начнет вначале вращаться вокруг средней оси, то бесконечно малое изменение начальных условий приведет полюс в положение Ото. начиная от которого он будет описывать полодию, окружающую либо вершину а, либо вершину с. Тогда ось отклонится от своего первоначального положения на конечную величину; вращение будет неустойчивое.

Эллипсы ее и ее (рис. 229) разделяют эллипсоид на четыре части: две, содержащие вершины а к а, и две другие, содержащие вершины с и с.

Следуя замечанию Бура (Bour), естественно принять за меру устойчивости вращения вокруг оси Оа отношение площади части, содержащей а, к половине площади эллипсоида инерции. Действительно, если начальные условия изменяются так, что полюс находится в этой части, то мгновенная ось описывает в теле конус вокруг своего первоначального положения Оа. Точно так же устойчивость вращения вокруг Ос измеряется площадью части, содержащей эту ось. Например, если эллипсоид очень близок к эллипсоиду вращения вокруг Oz, т. е. если А - В очень мало, то часть, содержащая а, будет очень мала, так что устойчивость вращения вокруг Оа будет слабой, так как маленькое смещение оси может вывести полюс из этой части и заставить вращаться вокруг Ос.

Если эллипсоид будет точно эллипсоидом вращения (продолговатые снаряды), то устойчивыми будут вращения только вокруг оси симметрии. В самом деле, если тело вращается вокруг одной из главных осей в плоскости экватора и если в каком-нибудь случае полюс т будет немного отклонен от этой плоскости, то он будет описывать на поверхности эллипсоида круг, параллельный экватору и почти совпадающий с ним. Следовательно, ось в теле сильно отклонится от своего первоначального положения. Интересно отметить, что в пространстве ось, напротив, останется очень близкой к своему первоначальному положению, так как длина От мало отличается от экваториального радиуса.

Если эллипсоид инерции является сферой, то все его оси будут одинаково устойчивыми или скорее безразличными, так как мгновенная ось, если она будет смещена со своего места в другое, снова станет неподвижной и в теле и в пространстве (см. Bour, Dynamique, стр. 165).



то имеем следующие уравнения:

X2+y2 + Z2i +

(33)

Ах + By"- + Сгз = 1. Ах + Ву"-+ Сг = D.

из которых первое выражает, что Оп - Pnfi + ОР, а последние суть уравнения полодии.

Разрешая эти уравнения относительно х, у, и полагая Д = (Л - В) (В - С) (С - А), „- (.В-Р){С-Р) (С-Р)(А-Р)

*~ ~ВСР САР

{А-Р){В-Р) " - АВР

получим;

(34)

Мы предположили, что А> В> С и что D заключено между В и С. Тогда Д является отрицательным, и мы имеем а > О, ft > О, с < 0. Следовательно, существенно положительно и никогда ие обращается в нуль. Это находится в соответствии с тем, что г никогда не обращается в нуль. Для

находится в соответствии с тем, что г никогда не ооращаетси и пуло, дли того чтобы х н у2 были положительны, необходимо, чтобы - а было положительно, а р2 - ft отрицательно. Следовательно, р2 колеблется между а и 6. Таким образом, мы опять пришли к тому результату, что радиус-вектор

393. Уравне1Ие герполодии. Пуансо получил дифференциальное уравнение герполодии, заметив, что выражение дуги этой кривой 8 функции радиуса От идентично выражению дуги полодии в функции того же радиуса, так как обе кривые катятся одна по другой. Мы применим другой метод, приводящий к несколько более коротким вычислениям, который мы заимствуем из заметки Дарбу к «Механике» Депейру (Despeyrous).

Пусть, как н выше, х, у, г- координаты полюса т относительно главных

осей инерции Охуг. Так как отношение постоянно и равно У, то

z=i:=zi= - =Ул. (31)

X у г От

Так как р, q, г являются эллиптическими функциями времени t (19), то такими же будут и х, у, г. Уравнения Эйлера, если в них заменить р, q, г через xYh, yVh-, zYh, приводятся к виду

Л- + УЛ(С-В)уг = 0, В+УТ{А-С)гх = 0. (32)

Обозначим, как и выше, через Р проекцию точки О на неподвижную плоскость II, которая содержит герполодию, н обозначим через ? н х полярные координаты точки т кривой, отнесенной к точке Р. Так как



(в-с , с-а , а - в\

Это уравнение, если заменить в нем х, у, z через их значения (34) и через (X Yd, принимает вид

Р = > (p2 a)(pa ft)(pa c)- (35)

Полученное уравнение позволяет найти f- в функции t через эллиптическую функцию. Это выражение в функции t нам уже известно, так как х, у, г являются эллиптическими функциями времени t.

Чтобы найти другое выражение, содержащее полярный угол / точки герполодии, нужно исходить из следующего замечания: если от и /и являются двумя бесконечно -близкими положениями {х,у:г) и {х-\-dx, y-\-dy, z-\- dz) полюса в теле, то плоскость элементарного треугольника тОт касательна к конусу мгновенных осей вращения в теле и проекции Sx, Sy, Sg площади S этого треугольника на главные плоскости эллипсоида равны

2S = ydz - zdy, 2Sy = г dx - X dz, 2S = xdy - ydx.

С другой стороны, так как конус мгновенных осей От. в теле катится по неподвижному конусу с верщиной в точке О и с герполодией в качестве основания, то плоскость тОт касается также и неподвижного конуса, и элементарная площадь S равна также площади между двумя соответствующими бесконечно близкими образующими неподвижного конуса. Тогда проекция площади S на плоскость I, содержащую герполодию, есть элементарный сектор этой кривой у р2 dx-

Так как плоскости хОу, уОг, гОх образуют с плоскостью П, перпендикулярной к Оа, углы с косинусами у, т> т"> то

p2dx = 2YS-f 2YSj, + 2fS,. (36)

Вычислим правую часть. Сначала находим

Ар aYJ Ъ

-(----j-x--x,... (37)

Далее, в силу уравнений, выводимых из уравнений Эйлера, н в силу уравнений (32) получаем:

2Sa, = ydz-z dy[b(a-b)y"--\-C{a-C)zdt.

Величина, заключенная в скобках, равна а - d, как это видно после исключения х из двух последних уравнений (33). Следовательно,

герполодии колеблется между минимумом Уа и максимумом Yb- Дифференцируя первое из уравнений (33), получим:

dp dx , dy , dz

или, принимая во внимание уравнения (32),

dp ,гт- [в-с с-а а - в\ AYhxyz





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038