Главная Промышленная автоматика.

осей вращения в теле, вырождается в ось Ох и полодия - пересечение этого конуса и эллипсоида - вырождается в точку айв симметричную точку а. Когда D немного уменьшится, полодия будет состоять из маленькой замкнутой кривой /, окружающей а, и из симметричной кривой /, окружающей а. Если D будет продолжать уменьшаться, то кривые / и. / будут удаляться от а и а и при D - B эти кривые соединятся в точках * и и распадутся на два эллипса е и е. Точно так же при D = C полодия выродится в две вершины с и с. При увеличении D полодия будет вначале состоять из двух маленьких симметричных замкнутых кривых g и g\ окружающих эти вершины; затем эти кривые будут увеличиваться, и при D = B они опять обратятся в эллипсы е и е.

Таким образом, имеются два вида полодий. Одни из них окружают вершины малой оси, а другие вершины большой оси. Эти два вида полодий разделяются особой полодией, соответствующей D - B и образованной двумя эллипсами е и е. Через каждую точку поверхности эллипсоида проходит одна и только одна полодия. Когда все эти кривые уже начерчены, то чтобы узнать, какая полодия соответствует заданным начальным условиям, достаточно знать точку wiq, в которой ось начального мгновенного вращения пересекает эллипсоид. Искомой полодией будет та, которая проходит через wiq. Что касается соответствующей неподвижной плоскости П, то это - плоскость, касающаяся в wiq эллипсоида в его начальном положении.

Герполодия. Если опустить из неподвижной точки перпендикуляр ОР на плоскость П (рис. 228), то длина ОР равна Радиус-

вектор Рт -р кавой-нибудь точки герполодии имеет длину

Мы видели, на основания формы полодии, что расстояние. 0/ге от полюса до центра изменяется между его минимумом и максимумом. Следовательно, р также изменяется между соответствующими минимумом и максимумом pi и pj. Герполодия заключена поэтому между двумя концентрическими окружностями радиусов pj и pj, которых она последовательно касается в точках, таких, как т, и mj. Она имеет форму, указанную на рис. 228. Это - кривая, обращенная всегда вогнутостью к точке Р и не имеющая точек перегиба. Это обстоятельство, впервые замеченное Гессом (диссертация, Мюнхен, 1880; Math. Annalen, т. XXVII) и вновь открытое де Спарром (de Sparre, Comptes rendus, 1884), заслуживает быть отмеченным, так как Пуансо в своей работе неточно изобразил герполоиду, приг дав ей синусообразную форму. Доказательство можно найти в статье Паде (Fade, Nouvelles Annales, 4 serie, т. VI, июль 1906).



Дуга тт, герполодии есть четверть дуги /, 2 полодии (рис. 228). Когда все точки полодии соприкоснутся последовательно с плоскостью, полюс т займет в эллипсоиде первоначальное положение, но в плоскости II радиус-вектор Рт повернется на угол, равный

АтРт, поскольку на полодии имеются четыре вершины. Если этот

угол тРт-г несоизмерим с тг, то герполодия не будет замкнутой: полюс никогда не займет одновременно точно то же самое положение на эллипсоиде и на плоскости, которое он занимает в данный момент. Если же этот угол соизмерим с it, то герполодия будет замкнутой и по истечении некоторого промежутка времени полюс займет опять прежнее положение и на эллипсоиде и на плоскости.

Частные случаи. Если D - A или D = C, то полодия и герполодия обратятся в точки. Эллипсоид будет вертеться, оставаясь в соприкосновении с плоскостью своей вершиной на большой или малой оси.

Если D~B, то полодия обратится в два эллипса е и е, проходящих через среднюю ось. Малая ось одного из этих эллипсов, как это легко проверить, равна средней оси Движение в

этом случае получится, если заставить один из эллипсов, центр которого неподвижрн, катиться по плоскости II. Так как эта плоскость находится от центра на расстоянии, равном , то минимум р2 радиуса

р - Рт герполодии равен нулю; максимум имеет некоторое значение pj., Герполодия будет тогда иметь форму двойной спирали (рис. 230), имеющей вершину Т, соответствующую максимуму р и состоящую из двух симметричных относительно РТ ветвей, приближающихся асимптотически к точке Я. Только одна часть этой герполодии будет в действительности описываться; это та ее часть, которая идет от начального положения Ото полюса до точки Р в том или другом направлении. Время, нужное для того, чтобы полюс пришел в положение Р, бесконечно, несмотря на то, что длина спирали конечна, так как она равна периметру катящегося эллипса.


Рис. 230.



Когда эллипсоид является эллипсоидом вращения, полодия и герполодия будут окружностями. Если он является сферой, то.полодия и герполодия будут всегда точками.

Устойчивость вращения вокруг главных осей. В частных случаях, когда тело начинает вращаться вокруг одной из главных осей инерции, такое вращательное движение продолжается неопределенно долго; мгновенная ось будет неподвижной в теле и в пространстве. Легко видеть, что это единственные случаи, когда мгновенная ось остается неподвижной в теле. В самом деле, полагая мгновенную ось неподвижной в теле и обозначая через а, Ь, с её направляющие косинусы относительно координатных осей Oxyz, имеем:

p=Law, q = bu>, r = cu),

где а, Ь, с - постоянные. Тогда интеграл кинетической энергии (12) показывает, что ш постоянна. Следовательно, три составляющие р, q, г будут постоянными и уравнения Эйлера будут иметь вид

(C - B)qr = Q, (Л -С)г/7 = 0, {B - A)pq = Q.

Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом врапения, то из этих уравнений вытекает, что две из величин р, q, г равны нулю, т. е. что тело вращается вокруг главной оси инерции. Если эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси • Oz, то А = В и либо г = О и тело вращается вокруг оси, лежашей в плоскости экватора, т. е. вокруг главной оси инерции, либо p = q~0 и тело вращается вокруг главной оси Oz. Наконец, в случае А=:В = С тело вращается вокруг главной оси инерции, так как все оси являются главными.

Теперь возникает вопрос, будет ли вращение тела вокруг одной из этих главных осей инерции устойчивым движением или нет: При этом вообще говорят, что движение является устойчивым, если произвольным бесконечно малым изменениям начальных условий соответствует бесконечно малое изменение самого движения. Движение называется неустойчивым, если некоторое бесконечно малое изменение начальных условий влечет за собой конечное изменение движения.

Если Л > В > С, то вращения, вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции являются устойчивыми, а вращение вокруг средней оси неустойчиво. В самом деле, сообщим телу начальное вращение вокруг малой оси. Тогда эта ось останется неподвижной, полюс вращения -совпадет с вершиной а, касательная плоскость Пд в точке Aq будет неподвижной. Если теперь изменить бесконечно мало начальные условия, сообщив телу начальное вращение вокруг оси, бесконечно близкой к Ойо, то полодия обратится в малую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершине малой оси. Следовательно, мгновенная ось опишет в теле вокруг своего первоначального положения конус с бесконечно малым углом раствора. Неподвижная плоскость П,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037