Главная Промышленная автоматика.

т или

~dW - ie

326. Доказательство теоремы количества движения. Допустим, что уравнения (1) написаны для всех точек системы. Сложим почленно все эти уравнения. Получим:

где знак 22 указывает, что суммирование распространено на все силы, действующие на каждую точку системы. Но в силу закона равенства действия и противодействия внутренние силы попарно равны и противоположно направлены. Следовательно, сумма 22! равна нулю и предыдущие уравнения приводятся к виду

S-ж=S S

Эти уравнения можно написать также в виде

Они выражают теорему количества движения системы и теорему о проекциях . количества движения.

Теорема. Производная по времени от суммы количеств дтжений точен системы равна сумме внешних сил.

Тогда уравнения движения точки М, радиус-вектор которой обозначим через М будут:

f-F.+ lF, (1)



Уравнения (2) напищутся теперь в форме

«=i;s.- р)

в этой форме они выражают следующее свойство:

Теорема. Центр тяжести системы движется как материальная точка, масса которой равна всей массе системы и к которой приложены силы, равные и параллельные внешним силам системы.

Эта теорема, которой мы уже пользовались, интересна кроме прочего и в том отношении, что она придает реальное значение теории движения материальной точки. Она получила наименование теоремы движения центра тяжести. Эта теорема указана была Ньютоном для частных случаев.

327. Примеры. 1°. Отсутствие внешних сил. Наиболее простое предположение, которое мы можем сделать, это то, что на систему не действуют никакие внешние силы. Тогда центр тяжести системы будет совершать прямолинейное и равномерное движение. Если, например, считать, что действия звезд на солнечную систему равны нулю, то центр тяжести этой системы, который расположен весьма близко от Солнца, будет совершать прямолинейное и равномерное движение.

2°. Тяжелая система в пустоте. Рассмотрим теперь систему тяжелых точек, брошенных в пустоте. Каковы бы ни были деформации и внутренние связи системы, ее центр тяжести будет описывать параболу с вертикальной осью. Действительно, различные внешние силы вертикальны; если их перенести в центр тяжести, то они будут иметь равнодействующую mg~Tlg; следовательно, центр тяжести будет двигаться как тяжелая точка массь1 9Я. Например, если в пустоте брошена бомба и она в некоторый момент времени

Теорема. Производная по времена от суммы проекций количеств движений точек системы на какую-нибудь неподвижную ось равна сумме проекций внешних сил на ту же ось.

Отсюда следует, что если, например, 22е = 0 ™

ЧГ const.

Уравнения (2) допускают еще другое толкование. Обозначив через Ш всю массу и через , тг), С-координаты центра тяжести си-

стемы, получим:

Ш = тх, m-fi = Zmy. Ш: = П2. ™ V dx (vy, йЦ \\ diy cm V dz



взрывается, то центр тяжести осколков будет продолжать описывать ту же самую параболу, так как силы, возникающие при взрыве, являются внутренними. Точно так же, если живое существо движется в пустоте под действием только веса, то его центр тяжести будет описывать параболу и мышечные усилия, которые оно будет производить, не изменят траектории его центра тяжести, так как эти усилия являются внутренними силами.

3°. Притяжение, пропорциональное расстоянию. Возьмем еще систему материальных точек, притягиваемых неподвижным центром О пропорционально массам и расстояниям г. Внешние силы суть центральные силы притяжения fmr. Перенесем эти силы в центр тяжести О. Тогда, как мы видели в статике, их равнодействующая будет направлена вдоль 00 и будет иметь значение /ШОО. Следовательно, центр тяжести перемещается как материальная точка, притягиваемая точкой О пропорционально расстоянию; она описывает эллипс с центром в точке О.

Примечание. В двух предыдущих примерах мы смогли определить движение центра тяжести, ничего не зная ни о связях, ни о внутренних силах. Это оказалось возможным вследствие того, что в указанных случаях правые части уравнений (3) зависят только от L -ц, С. Тогда можно выполнить интегрирование этих уравнений, не зная других уравнений движения. В общем случае так получаться не будет. Правые части уравнений (3) будут зависеть от координат всех точек системы, и эти уравнения дадут лишь только некоторое представление о движении. Такой случай имеет место, например, в задаче о движении двух точек, притягивающих друг друга и притягиваемых неподвижным центром по закону Ньютона. Равнодействующая внешних сил, перенесенных в центр тяжести, зависит в этом случае не только от координат центра тяжести, но и от координат самих точек.

А°. Ходьба (Делоне, Механика - Delaunay, Mecanique). Как мы уже указывали на примере, теорема о движении центра тяжести распространяется и на живые существа. Возникающие при сокращении мышц мускульные усилия являются внутренними силами, попарно равными и прямо противоположными; следовательно, они не оказывают никакого влияния на движение центра тяжести. Поэтому только при по.мощи внешних тел живое существо может изменить движение своего центра тяжести. Вообразим, например, наблюдателя, стоящего на идеально отполированной горизонтальной плоскости. Все внешние силы, действующие на тело наблюдателя, - вес и нормальные реакции плоскости, вертикальны. Если наблюдатель был вначале неподвижным, а затем пожелал двигаться, то его центр тяжести движется как материальная точка, вначале неподвижная и находящаяся под действием вертикальной силы. Эта точка описывает неподвижную вертикальную прямую, и следовательно, мускульные усилия не изменяют положения горизонтальной проекции центра тяжести, который может лишь подниматься или опускаться. Ходьба в этом случае невозможна. Она становится возможной лишь благодаря трению. Если на негладком грунте человек, сначала неподвижный, заносит вперед одну ногу, то вторая нога стремится отодвинуться назад для того, чтобы горизонтальная проекция центра





0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039