Главная Промышленная автоматика.

3°. Главный момент Оа имеет постоянную величину / или pD, и поэтому расстояние от точки О до касательной плоскости в точке т, равное

будет также постоянным.

В результате плоскость П, касательная в точке т, будет неподвижна, так как она имеет постоянное направление и находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О.

Мы пришли, следовательно, к выводу, что эллипсоид инерции постоянно касается неподвижной плоскости П. Точка касания т является полюсом, прямая От - мгновенной осью, а мгновенная угловая скорость со, равная OmY, пропорциональна Оот. Пуансо называет полодией кривую, описываемую полюсом т на поверхности эллипсоида, и герполодией - кривую, описываемую полюсом на неподвижной плоскости П (рис. 228). Конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, имеет вершину


Рис. 228.

в точке О, и в качестве направляющей - полодию; конус, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в пространстве, имеет вершину тоже в точке О. а в качестве основания - герполодию. Для получения движения нужно заставить первый конус катиться по второму таким образом, чтобы мгновенная угловая скорость со была в каждый момент пропорциональна От, так как

(О --= OmYli.

Так как точка эллипсоида, которая находится в соприкосновении с плоскостью П, имеет в каждый момент скорость, равную нулю, поскольку она находится на мгновенной оси, то можно также сказать, что движение получится, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться (без скольжения) по неподвижной плоскости П. Положение этой неподвижной плоскости известно из начальных условий.



Можно еще иначе представить себе движение, допустив, что материально осуществлена поверхность катящегося конуса, ограниченная полодией: образованное таким образом тело катится по плоскости П, и его следом является герполодия (рис. 228а). Так как полодия катится по герполодии без скольжения, то соответствующие дуги обеих кривых имеют одинаковые длины.


Рис. 228а.

Полодия. Найдем уравнение полодии. С этой целью отнесем эллипсоид инерции к его осям. Мы можем определить полодию как геометрическое место точек т {х, у, г) эллипсоида, в каждой из которых касательная плоскость

AxX-}-ByY-\-CzZ=\ находится на постоянном расстоянии 8= Это условие выражается уравнением

= от начала координат.

(29)

Это уравнение совместно с уравнением эллипсоида

Лх2 4-В;;2 + С22= I (30)

определяет полодию, которая является, таким образом, алгебраической кривой четвертого порядка. Можно себе представить вид этой кривой, если рассматривать ее как пересечение эллипсоида и конуса, являющегося геометрическим местом мгновенных осей вращения От в теле или, что то же, являющегося катящимся конусом. Уравнение этого конуса получится путем исключения правых частей из равенств (29) и (30), что приводит к уравнению

А(А - D) х-+- В(В - D) у + С (С- D) z = Q.

Для того чтобы этот конус был вещественным, необходимо, чтобы

Л > D > С.

Это - очевидное условие того, что расстояние

от касательной

плоскости до начала координат должно быть меньше, чем наибольшая



полуось ф=., И больше, чем наименьшая полуось . Конус вырождается в две мнимые плоскости, т. е. в прямую, совпадающую с осью Ох или с осью Oz, когда D = А или D = С. Это легко объяснить геометрически, поскольку концы с и с большой оси й концы ала малой оси являются единственными вещественными точками, в которых касательная плоскость имеет максимальное или

минимальное расстояние от начала. Полодия будет тогда состоять из двух точек с и с или а к а (рис. 229). При D-=B конус распадается на две вещественные плоскости, проходящие через среднюю ось


~-V А{А-В)-

Это как раз те самые плоскости, с которыми мы встречались при аналитическом исследовании задачи. В этом случае полодии состоят из двух эллипсов е и е, пересекающихся на двух концах b а Ь средней оси.

Таким образом, полодия является пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно центра и однбй из главных плоскостей эллипсоида. Каждая ветвь имеет в качестве плоскостей симметрии две другие главные плоскости эллипсоида (рис. 229) и обладает четырьмя вершинами /, 2, /, 2, для которых радиус-вектор От, выходящий из центра, имеет максимум или минимум. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости П. Эта ветвь - единственная используемая; вторая ветвь катится по плоскости, симметричной к П относительно точки О.

Важно дать себе отчет о различных формах, которые принимает полодия в зависимости от начальных условий. Представим себе эллипсоид инерции (рис. 229). Так как мы предполагаем, что А > "ВуС, то ось Ох является малой осью, а Oz - большой. Обозначим через а, а, Ь, Ь, с, с вершины поверхности. В зависимости от начальных условий постоянная D изменяется между Л и С При D - A конус, который является геометрическим местом мгновенных





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037