Главная Промышленная автоматика.

Полагая и = 1с, v = z и обозначая через X вещественную постоянную

fiD , 6 (/с)

С- - г д ,, , имеем

d-у I H(ic-x) I H(tc + z) dx 2 H(lc - x) 2 H{le + -z)

Интегрируя и предполагая оси выбранными таким образом, чтобы угол ф обращался в нуль вместе с х, наконец, найдем

Таким образом, три угла в, tp, ф выражены в функции времени и теперь можно определить положение тела в произвольный момент. Синусы и косинусы этих трех углов выражаются функциями времени, которые либо однозначны, либо являются квадратными корнями от однозначных функций. Но замечательно, что девять косинусов а, р, -f, а, р, f, а", р", Y являются однозначными функциями времени. Этот результат, принадлежащий Якоби, может быть установлен следующим образом. Из формул (20) получаются уже у, Y> Ч" как однозначные функции времени. Из них выводим

или, заменяя и их значениями,

f C(A-B)(D~C) f А{В

Введя аргумент ie, определенный соотношением (25), принимая затем во внимание тождество (27), в котором следует положить и = х, v= le, мы найдем для sin 6 выражение вида

е(х)

где V - некоторая постоянная, значение которой нет надобности выписывать. Мы видим, таким образом, что sin 6 является квадратным корнем от однозначной функции. Вычисляя e, cos фи sin ф по формуле (28), найдем, что эти функции зависят от той же иррациональности, что и sin 6. Эта иррациональность исчезает в дальнейшем из комбинаций, дающих а, а, а", р, р, р".

Можно придти к тому же выводу, вычисляя непосредственно как функцию времени t величину

W = е" sin е.

Дифференцируя, получаем

\ dw ,d . db w-dt-W + S4t-

Заменяя его значением (21), а 8 и заменяя значениями, которые

можно вывести из равенства / cos 6 = Cr, получим для эллиптическую

функцию переменного из которой при помощи квадратуры определим w в виде однозначной функции времени.



Если мы захотим сравнить предыдущие вычисления с вычислениями Сомова (Journal Crelle, т. 42), то достаточно будет заметить, что аргумент, обозначенный Якоби и Сомовым через la, связан с 1с соотношением

/а + /с = 1К.

Рамки этой книги не позволяют нам излагать подробнее эти вычисления. Мы отсылаем за подробностями к работе Эрмита «Sur quelques applications des fonctions elliptiques* (K некоторым приложениям эллиптических функций), в которой изложены два различных метода для непосредственного В1,;числения девяти косинусов и сделаны ссылки на работы Брилля (Brill), Челини (Chelini), Сиачи (Siacci) и на сочинение Гальфена (Traite de Halphen, т. II).

Когда D - В (п. 389, 3°), тогда модуль k равен 1 и углы 8, tp, ф, а также девять косинусов выражаются элементарными функциями. В этом случае на

основании соотношений (24) функция s = sn х обратится в или

в - ngи функции спт и dnt обратятся в Vl - или в . Вводя

чисто мнимый аргумент ic, определенный соотношением (25), т. е.

,о,-А(В-С) 1 В(А-С) С(А-ВУ C0S2C ~~С(/1 -В)

мы представим формулу (26) в виде

М-Д I tgc 1

dx пС cos3с tg2 с - tg2 Н

Из последнего равенства после интегрирования получаем . / . sin(c-f п)

ф = Ах - In -~---7 ,

2 sin (с - /т)

где X обозначает постоянную +

Отсюда выводятся .выражения девяти косинусов.

Когда А = В (п. 390), модуль равен нулю и sn х приводится к sin х. Для этого случая выражения в, tp, ф были даны раньше.

392. Геометрическое представление движения по Пуансо.

В работе, помещенной в т. XVI Journal de Liouville, Пуансо дал геометрическое представление движения, основанное на следующих теоремах кинематики, которые остаются справедливыми в любом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим эллипсоид инерции тела, построенный в неподвижной точке О и пусть Ох, Оу, Ог - главные оси инерции этого эллипсоида. В некоторый момент времени мгновенная ось вращения Ом пересекает поверхность эллипсоида в некоторой точке т, которую Пуансо называет полюсом.

Теорема I. Кинетическая энергия тела равна 4-=--

Onfi

В самом деле, на основании самого определения эллипсоида

инерции момент инерции тела относительно оси Ош равен =L--,



и так как скорости точек тела будут такими, как если бы тело вращалось с угловой скоростью ш вокруг Ош, то кинетическая

энергия Y fitv равна половине произведения момента инерции на

1 0)2

квадрат угловой скорости (п. 359) --=г.

Теорема II. В каждый момент времена касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе т перпендикулярна к главному моменту Оа количеств движения.

В самом деле, эллипсоид инерции, отнесенный к осям Oxyz, имеет уравнение

Ax-i-By-{-Cz= 1. Направляющие косинусы вектора Ош равны ."и коорди-

наты X, у, г полюса т относительно тех же осей можно представить в виде

хШ£-, y=Om-S-, г = 0-.

(о (о о)

Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке т{х, у, г) AXx + BYy-}-CZz=\

принимает вид

(ApX+BqY+CrZ)=l.

Эта плоскость перпендикулярна к вектору Оа, проекции которого равны Ар, Bq и Сг.

Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню аз удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения.

В самом деле, расстояние от точки О до касательной плоскости

g м 1

~ oYaW+by + сь

что и доказывает теорему.

Применим теперь эти три теоремы к частному случаю, когда силы, приложенные к твердому телу, приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку. Тогда:

1°. Кинетическая энергия будет постоянной и равной h или D[j.*. Следовательно, имеем

2°. Главный момент Оа количеств движения имеет фиксированное направление: плоскость, касательная к эллипсоиду в точке т, будет

также иметь фиксированное направление, перпендикулярное к Оа,

11 Зак. 922. П. Аппель, т. П





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004