Главная Промышленная автоматика.

- е-

+ е-

В {В

А {А

В (А

НА-В) 2 :(А - С) е + е- •

где s, s, s" по-прежнему равны ±1. Мы поставили перед q множитель s, так как, в зависимости от того, будем ли мы брать в равенстве (23) знак + или -, мы получим для q значение с тем или иным знаком. Если, например, считать положительным, а Ро - отрицательным, то нужно принять е,"=-\-1 и г - -1. Тогда первое уравнение Эйлера потребует, чтобы было е=-\-\. Такое определение знаков мы и примем. Когда t неограниченцо увеличивается, то q, как мы видим, стремится к пределу (i, в то время как р п г имеют пределом нуль. Поэтому мгновенная ось вращения стремится занять в теле предельное положение, совпадающее со средней осью эллипсоида инерции. В пространстве эта ось стремится к направлению Ozi или к направлению главного момента количеств движения Оа, так

как уравнения (20) показывают, что 9 должно стремиться к , а tp -

к нулю. Следовательно, предельное положение Оу есть действительно Ozi- Таким образом, движение стремится к равномерному вращению с угловой скоростью вокруг неподвижной оси.

Если р н г в начальный момент времени = 0 равны нулю, то в уравнениях (24) нужно будет положить постоянную /q равной ± оо. Тогда риг будут постоянно равны нулю, а q будет постоянно равно [а. В этом случае тело начнет вращаться вокруг главной оси инерции Оу, и это движение будет все время продолжаться.

390. Случай, когда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Допустим, что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения вокруг, например, оси Oz, вследствие чего

Л = В.

С будет больше А и В, если эллипсоид является сжатым, и будет меньше этих величин, если он вытянутый.

Модуль k будет тогда равен нулю, и эллиптические функции обратятся в круговые. Прежде всего третье уравнение Эйлера

приводится к виду

C% + iB-A)pq=0 dr „

- = 0, г = Го

Так как g =f =]х, то р, q ч г принимают значения



и последнее из уравнений (20)

I cos О = Сг = Сго показывает, что 9 должно оставаться постоянным:

9 = 9о, /cos9(,=:Cro. Что касается ф, то из выведенной ранее формулы

здесь получаем

dt Af- + вц

d ± dt ~ А

Следовательно, ф изменяется пропорционально времени. После этого из формулы

r - <Y cos 9 -- ср

получаем:

Следовательно, ср изменяется пропорционально времени

? = To + (l -

Наконец, два первых из уравнений (20) определят jo и г в функции t при помощи формул

jo = /sin9Qsincp, = Z sin 9q cos ср.


Рис. 227.

Мы видели раньше (п. 382), что мгновенная угловая скорость вращения w есть геометрическая сумма трех угловых скоростей 9, ср и ф, направленных соответственно вдоль 01, Oz и Oz,. В рассматриваемом случае угол zOz, постоянен, 9 равно нулю, ср и ф тоже постоянны (рис. 227). Мгновенная угловая скорость вращения w есть диагональ параллелограмма, построенного на ф и ср. Этот параллелограмм не меняется в течение всего времени движения. Геометрическое место мгновенных осей вращения ш в теле есть, следовательно, круговой конус с осью Oz; геометрическое место мгновенных осей в пространстве есть круговой конус с осью Oz,. Движение тела получается как результат равномерного качения одного конуса по другому.

391. Краткие указания к вычислению девяти косинусов в функции времени. Выражения девяти косинусов, данные Якоби (Journal de Crelle, т. 39) могут быть вычислены следующим, непосредственно представляющимся, элементарным путем, лишь незначительно отличающимся от пути, которому следовал Сомов (Journal de Crelle, т. 42). Мы уже получили 6 и у в функции



dt пС пС A(B-C)-C(B - A)sniz •

Чтобы узнать полюсы двоякопериодической функции, стоящей в правой части, определим постоянный аргумент le, удовлетворяющий соотношению

С(В~А) (2>

Так как А> В, то значение sn te будет чисто мнимым; следовательно, для аргумента 1с можно взять чисто мнимое значение и поэтому для с - значение вещественное. Тогда мы можем написать:

йф (xD {С - А)(В - С) 1

dz пСпС С (В -А) sn2/c -sn3x*

Из равенства (25) на основании элементарных соотношений, связывающих функции sn, СП, dn одного и того же аргумента, получаем:

спЧс - В-С) dn2- JldjzO С(Л-В) °"-С(Л-0)-

Извлекая квадратные корни и принимая во внимание значение п, найдем

(С - Л) (В - С)

/sn Ic СП ledn ic -

пС С {В - А)

Перед правой частью надо было бы взять два знака, но так как можно изменить знак 1с без изменения предшествующих соотношений, то перед правой частью можно всегда брать знак -{-. Тогда уравненив, определяю-

щее ~, напишется так:

dii 1>-D Isn tc СП ic dn ic ,2.

rf7 ~ тгС + sn2 /с - sn2 T •

Это выражение легко теперь проинтегрировать. В самом деле, каковы бы ни были аргументы и и и, существует тождество [см., например. Врио и Буке (В ri о t et Bouquet, Fonctions elliptiques, стр. 494)]

62(0) Я (и -и) Я (и-Н и) s„2 „ s„2 = .-62(.)62(t.)-• (27)

из которого, если взять логарифмические производные по и, получается 2snacnadna 6 (ц) Я (ц - у) Н (ц -\- у) sn2a -snSu ~~ T(Z0 H{u - v) Н{и-\-у)

времени с помощью формул (20). Теперь вычислим Мы нашли

dt A-pi + Положим, как и выше, -z = n(t~t); заменим в выражении -- параметры р и q их значениями (19) и спт через 1 - sns т. Получим

d<\- цР (ДО -(Д -Л)8пЗт dt " п A{B - C) - C(B - A)sniz

что можно также, выполнив деление, написать в виде

d lD iD (С-Л)(В-С)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037