Главная Промышленная автоматика.

Теперь надо вычислить три угла Эйлера в функции времени. Для упрощения вычислений мы предположим, что в качестве оси (рис. 226)

выбрано неизменное направление главного момента количеств движе-->

ния Оа, известного из начальных условий. Напищем, что проекции вектора Оо на подвижные оси равны соответственно Ар, Bq, Cr:

I sin 9 sin ср = Ар,

Z sin 9 cos ср = В, (20)

/ cos 9 = Cr,

так как косинусы f, f, углов, образованных осями Ox, Оу, Oz с осью Ozi, суть sin 8 sin ср, sin 9 cos ср и cos 9; I есть модуль вектора Оа. Из этих уравнений без интегрирования получаем 9 и ср в функции р, q, г. Уравнения эти совместны на основании равенства (13). Чтобы вычислить ф, обратимся к двум ранее полученным уравнениям: p = Y sin 9 sin ср -f- 9 cos <p, q = Y sin 9 cos cp - 9 sin cp. Исключая 9, мы из них получим

J? sin tp -- g cos <р

sin в

Но из уравнений (20) имеем

Ар"- + Вд />sincp + gcoscp /sine

Psm4 = Ap~{-Bq\

и следовательно, выражение для ф принимает вид


Ар"- + Вд"- , h-Cr"-

1-1-Сг"-

(21)

Рис. 226.

2р2 22

Так как ф положительно, то угол ф будет все время возрастать и плоскость zfiz будет все время поворачиваться в положительном

направлении вокруг Oz,, т. е. вокруг Оа. Заменяя р к q или г их значениями в функции t, мы получим ф в функции t через квадратуру, выполненную над эллиптической функцией! Мы покажем ниже (п. 391), как можно, выполнив эту квадратуру, выразить ф и вместе с ним девять косинусов а, , f, а, Р, а", в функции времени.

Полученные формулы позволяют определить основные особенности движения. Когда t увеличивается на период Г, величины р, q к г принимают первоначальные значения. Как видно из формул (20), 9 также принимает первоначальное значение, так как cos 9 и sin 9 за период Т не обращаются в нуль, а <р. увеличивается на 2тг. В самом деле, следя за изменением ср или вычисляя ср, мы видим, что ср



постоянно увеличивается, если г > 0. Что касается угла ф, то он за период Т увеличивается на некоторую постоянную величину. В самом деле, обозначая через ф() выражение угла ф в функции времени, получающееся из уравнения (21), имеем

ф(+Г)=.ф(0.

так как ф есть функция времени t, имеющая период Т. Следовательно, интегрируя, получим

ф(+Г) = ф(0 + ф1.

где Ф1 обозначает некоторый постоянный угол.

389. Частные случаи. Мы предположили, что ни один из двучленов А - D, B - D, С - D не равен нулю. Соверщенно различные виды движения представятся в зависимости от того, будет ли равняться нулю средний двучлен или один из крайних.

1°. Пусть сначала С - D = 0. Мы видели (п. 388), что это условие может быть выполнено только, если начальные значения и равны нулю. Тогда уравнение

АрЦА - С)-\-ВдЦВ - С) = Ю(О - С)=0

показывает, что постоянно должны выполняться условия р - о, д = 0. Мгновенная ось вращения совпадает, следовательно, с осью Ог в течение всего времени движения и сохраняет в теле постоянное положение; но она неподвижна также и в пространстве, так как два первых уравнения (20) Ар = 1 sin 9 sin ср и Вд = 1 sin 6 cos <р показывают, что если ряд равны нулю, то угол 9 тоже равен нулю. Мгновенная ось Ог совпадает, следовательно, с осью Ozi, неподвижной в пространстве. Тогда движение будет вращением вокруг неподвижной оси. На основании уравнения Сг = /cos 9 угловая скорость этого вращения равна

г=Го = --.

Мы вновь приходим здесь к свойству постоянных осей вращения. Тело, которому в начальный момент сообщено вращение вокруг оси Ог, являющейся главной осью инерции для неподвижной точки О, будет продолжать вращаться вокруг этой оси сколь угодно долго.

2°. Если А - D = О, то необходимо должно быть до=:Г(, = 0. Тогда получится д = г = 0. Мгновенная ось вращения, неподвижная в теле, направлена по Ох. В пространстве она также неподвижна и направлена по Ог, так как вследствие равенства нулю величин д и г

из уравнений (20) получаем Ь-, ср =у. Следовательно, движение

будет, как и в предыдущем случае, вращением вокруг неподвижной

оси с постоянной угловой скоростью /7 =Ро == р..



п + , lAС{В-С)

Если это условие выполнено, то на основании равенства (22) будет постоянно

Z- + lACjB-C) Ро г ~ - V А(А - В) Го

{А-В) Го

Это показывает, что геометрическое место мгновенных осей в теле

вырождается в плоскость л: =-2, проходящую через среднюю ось.

В рассматриваемом нами случае g - f-[i, и модуль /г2

обращается в единицу, а все интегрирования могут быть выполнены в элементарных функциях. Действительно, дифференциальное уравнение для S принимает вид

§=±«(1-52), (23)

откуда, интегрируя и беря знак -j-, получаем:

2л {t-to)\n\±l.

Полагая, как и раньше, i = n{t - t), находим:

l + s l-s 2£ 2 YT

То обстоятельство, что в обоих случаях ось вращения совпадает с осью Oz,, является следствием того, что в качестве оси Oz, выбран главный момент количеств движения Оа. То обстоятельство, что в обоих случаях угловая скорость есть [х, является следствием того, что а в общем случае обозначает проекцию мгновенной угловой скорости вращения ш на Оа, а в рассматриваемых случаях ш совпадает по направлению с Оа.

3°. Пусть, наконец, В - D - 0. Исключая q из двух первых уравнений (15), имеем

Ар {А -В) - Сг (В - С) = (D - В) =: 0. (22)

Следовательно, для того, чтобы имел место рассматриваемый случай, необходимо и достаточно, чтобы в начале движения было

Apl{A-B)-Crl(B-C)0.

т. е. чтобы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0044