Главная Промышленная автоматика.

B+{A~C)prQ.

(15)

Определяя из первых двух уравнений риги подставляя их ъ третье уравнение, мы получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно q. Исключив сначала г из первых двух уравнений, получим

Ар (Л - С) + 52 (fi С) = D (D - С) IJ.2.

Из сопоставления величин А, В, С вытекает, что разность D - С существенно положительна. Она может обратиться в нуль только в том случае, когда р и q одновременно равны нулю, т. е. в случае, когда в начальный момент тело будет вращаться вокруг оси Oz. Этот случай будет рассмотрен отдельно. Далее из последнего урав-иения найдем

„2- В{В-С) 2

Р - A(A-C)J •

где положено

/2 = [Х

2 2.(-0

B(B-Cj •

(Пуансо). в самом деле, косинус угла между мгновенной угловой скоростью О) И вектором Оа равен

со8(оГа)=: РЛр + дВд + гСг

откуда

u)COs(u), а)== -

является постоянной величиной.

Чтобы сделать все размерности очевидными, мы положим, как это делает Гринхилл (Fonctions elliptiques, стр. 147).

откуда

h = D[j.2, / = Оц.

Произвольная постоянная \>., являющаяся проекцией вектора о) на Оа, б)дет тогда иметь размерность угловой скорости, а произвольная постоянная D будет величиной той же размерности, что и А, В, С.

388. Исследование движения. Интегрирование при помощи эллиптических функций. Допустим, что Л > В > С и что произвольная постоянная D не равна ни одной из величин А, В или С. Проекции р, q, г мгновенной угловой скорости вращения находятся как функции времени из трех уравнений



Перед радикалом нужно брать знак -f-, пока q возрастает, и так до момента, когда q достигнет значения --/. После этого q будет уменьшаться от -(-/до - / и перед радикалом нужно брать знак - и т. д.

Мы видим, что t определяется в функции q при помощи эллиптического интеграла, который мы приведем к нормальному виду, полагая

q-js, л - 3 - . (lb)

Таким путем, разрешая относительно dt и интегрируя, мы получим

Вычисляя аналогично, получим:

С(А-С) В(А-В)

где двучлен Л - D существенно положителен и не может обратиться в нуль иначе, как при и г, равных нулю.

Так как риг должны быть вещественными, то необходимо, чтобы q было меньще наименьщей из величин Р и g. Чтобы узнать эту величину, составим разность g - Р:

Р{А-С)(В-Р) s j В{В - С)(А-- В) •

Знак g-р совпадает со знаком В - D, который известен по начальным условиям.

Допустим для определенности, что

В -D>0, g>p.

Тогда переменная q должна будет изменяться между -/и -\-f. Следовательно, г никогда не обратится в нуль и будет сохранять один и тот же знак, который будет известен по начальному значению Го- Допустим, что г > 0. Напротив, р обращается в нуль всякий раз, когда q=±f. Если q увеличивается, то производная ~

будет положительной, и третье из уравнений (15) показывает, что р будет тогда отрицательным; когда q уменьшается, тогда р будет положительным. Эти рассуждения устанавливают в каждый момент времени знаки, которые нужно брать перед радикалами, выражающими р и г в функции q.

Наконец, подставляя найденные значения р и г в третье из уравнений (15), получим



(19)

= - sn т dn X

показывает, что se- - 1. Мы примем е = -1 и s = --l.

Величины р, q, г являются периодическими функциями времени t и имеют период

п п J лГ(\

У(1-S2)(1 A!252)

Когда время увеличивается на эту величину, р, q, г принимают прежние значения. В эти моменты мгновенная ось вращения занимает свое первоначальное положение в теле, но не в пространстве, как мы это увидим дальше.

где п обозначает положительную постоянную

и -новая произвольная постоянная, представляющая собой тот момент времени, когда q, возрастая, обращается в нуль. Модуль меньше единицы, так как gP; он равен ангармоническому отношению величин А, С, В, D.

Полученные выше формулы определяют р, q м г как однозначные функции времени. В самом деле, если для краткости положить

z = n{t - to),

то обращение эллиптического интеграла дает

q=fs=zy щд- snx,

где u. положительно и s, е, s" равны ±1.

На основании элементарных свойств функций sn, сп, dn эти формулы показывают, что р я q обращаются периодически в нуль, в то время как г никогда в нуль не обращается.

Если, как и раньше, мы предположим, что > О, то г будет оставаться все время положительным и нужно будет принять s" = -f-1. Тогда на основании первого уравнения Эйлера непосредственно dp

видно, что -~ ц q должны иметь одинаковые знаки, а это на основании известной формулы

rf СП т





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0061