Главная Промышленная автоматика.

Главный момент количеств движения. Главный момент Оа количества движения всех точек тела относительно неподвижной точки О является вектором, проекции которого на оси Охуг имеют величину

Q=m{yv - zvy), Gy=m{zva> - xv),

а = т {xvy - yv). Заменяя v, Vy, их выражениями, написанными выше, получим

az=Ap - Fq - Er~

dp дТ

o=Bq - Dr - Fp = . °z=Cr - Ep - Dq = -.

dq • dT

Главный момент сил. Пусть OS - главный момент сил, приложенных к телу, относительно точки О. Мы обозначим через S, SyS проекции этого вектора на оси Oxyz, т. е. суммы моментов сил относительно этих осей.

Уравнения движения. Нам нужно написать, что абсолютная

скорость и точки а равна и параллельна вектору OS (рис. 225). Для этого мы напишем, что проекции абсолютной скорости и точки о

на три оси Oxyz равны проекциям Sy, S на эти оси вектора OS.

Так как точка а имеет в подвижных осях Oxyz координаты а., Су, Og, то проекции на эти оси вектора ее относительной скорости по отношению к этим же осям равны

d dt

Так как система осей Oxyz совершает мгновенное вращение с угловой скоростью 02, имеющей компоненты Р, Q, R, то точка а имеет переносную скорость от движения этих осей, выражаемую вектором с проекциями на эти оси, равными

Qa. - Roy, Ra - Pa„ Poy-Qo.

Проекции абсолютной скорости точки о равны суммам проекций ее относительной и переносной скоростей, и мы имеем поэтому уравнения движения:

Qa,-Ray = S, da.

dt da

M.-{.Ra-Po,Sy,

(10)



B+iA-C)rp=Q. C + {B - A)pq = Q.

Так как эти уравнения содержат только р, q, г и не содержат 9, ср, ф, то интегрирование уравнений движения разделяется на две части: сначала нужно проинтегрировать уравнения (11) Эйлера, определив р, q, г в функции t, а затем уже нужно вычислить 9, ср, ф в функции t.

Система (11) допускает два первых интеграла, которые легко составить. Умножая первое из этих уравнений на р, второе на q,

в этих общих уравнениях проекции а, Sy, имеют значения, выраженные в равенствах (9). Необходимо отметить, что при вычислении

производных , ... нужно помнить, что коэффициенты А, В, ...

в общем случае зависят от t.

Частные случаи. 1°. Трехгранник Охуг жестко связан с телом. В этом случае мгновенная угловая скорость вращения Q триэдра совпадает с мгновенной угловой скоростью вращения о) тела. Тогда

Р=р, Q=:q, R = r.

Кроме того, А, В, С, D, Е, F являются постоянными. Мы вновь получаем уравнения п. 383.

2°. Триэдр отсчета Охуг неподвижен в пространстве. Тогда

угловая скорость вращения 2 равна нулю к Р, Q, R тоже равны нулю.

П. Первое приложение уравнений Эйлера к случаю, когда внешние силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку

387. Первые интегралы. Наиболее простым случаем, который может представиться, будет тот, когда все внещние силы приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную точку, например, когда тяжелое тело закреплено в своем центре тяжести. В этом случае тело, предоставленное самому себе без всякой начальной скорости, будет в равновесии при всех положениях, которые оно может занимать вокруг точки О.

Главный момент внешних сил относительно точки О будет тогда равен нулю. Величины L, М, N (п. 383) равны нулю, и если в качестве осей, связанных с телом, принять его главные оси инерции Охуг в точке О, то уравнения Эйлера (п. 384) примут вид

А(С-В)дг=0,



третье на г и складывая, получим соотношение

или, интегрируя и обозначая через h произвольную постоянную,

Ap-{-Bq + Cr = h. (12)

Умножим те же уравнения на Ар, Bq, Cr, складывая их, получим:

.+cv:=o

или, интегрируя и обозначая через /2 произвольную постоянную,

Л2р2 522 = /2. (13)

Эти два интеграла имеют простой смысл и непосредственно вытекают из общих теорем. Действительно, кинетическая энергия тела

равна {Ар-\-Bq-\-Cr). Следовательно, равенство (12) выражает,

что кинетическая энергия системы остается постоянной. Это и очевидно, так как заданные силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку, и, следовательно, ее работа равна нулю.

Для интерпретации уравнения (13) вспомним, что проекции главного момента Оа количеств движения на подвижные оси равны Ар, Bq, Cr. Уравнение (13) выражает, следовательно, что его величина остается постоянной, что вытекает также из общих теорем, ибо

в рассматриваемом случае L, М, N равны нулю, 05 равен нулю, точка о, имея скорость, равную нулю, будет неподвижной и величинаОз будет оставаться постоянной, равной /. Теорема площадей применима к проекции движения на произвольную плоскость, проходящую через О. Плоскость, перпендикулярная к Оа, является плоскостью максимума площадей.

Умножая равенства (12) и (13) соответственно на и Л и вычитая одно из другого, получим

Л (ЛЛ -/2)р2 (Дй /2) 2 С (Сй -/2) г2 = 0.

Так как уравнениями мгновенной оси вращения относительно дви-жущихся осей будут - = - = -р, то отсюда видно, что эта ось описывает в теле конус второго порядка

A{Ah - P) л;2+В(ВЛ /2) + С (СЛ -/2)22 = 0.

Он будет исследован позже.

Из предыдущих уравнений непосредственно вытекает, что проекция мгновенной угловой скорости вращения на неподвижное направление Оа главного момента количеств движения постоянна





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0048