Главная Промышленная автоматика.

Переносная скорость точки о при движении осей имеет на эти же оси проекции

qa - rcsy, ra - ра, ра qa.

Следовательно, абсолютная скорость а точки а, будучи геометрической суммой относительной и переносной скоростей, имеет проекции

da,,

По теореме моментов количеств движения эти проекции равны L, М, N. Следовательно, имеем уравнения движения

da..

at +Ру - Ях = .

- 4<z - j, = . da

В которых Зд,, Gy, должны быть заменены их найденными выше выражениями в функции р, q, г.

384. Уравнения Эйлера. Обычно за оси Oxyz, связанные с телом, принимают главные оси инерции относительно точки О. Тогда

х = Ар, ay=Bq, о = Сг.

Внесем эти выражения в только что полученные уравнения. Они примут вид

dp dt

JiC-B)qr = L,

B + {A~C)rp==M, C-\-iB-A)pq = N.

Это - уравнения Эйлера. Присоединив их к группе уравнений (2), определяющих р, q, г, мы получим шесть дифференциальных уравнений первого порядка для определения шести неизвестных р, q, г, 6, ср, ф в- функции t.

Правые части L, М, N этих уравнений являются функциями переменных 9, ср, ф, если заданные силы зависят только от положения тела, и они будут функциями переменных 9, ср, ф, р, q, г, если эти силы зависят также и от скоростей. Если бы потребовалось вычислить непосредственно б, ср, ф, то исключение р, q, г приведет к трем уравнениям второго порядка относительно 9, ср, ф. Общие интегралы будут содержать шесть постоянных, которые можно определить, зная начальное положение тела и начальную мгновенную угловую скорость вращения, т. е. зная 9о, ср,,, ф, р, q и г.



385. Реакция неподвижной точки. Для вычисления проекций этой реакции (Q, Qy, Q) мы воспользуемся теоремой проекций количества движения и ее геометрической интерпретацией. Конец р главного вектора количества движения имеет абсолютную скорость, равную по величине и направлению главному вектору внешних сил, проекции которого на подвижные оси равны

S+Q.. Hv+Qy.

где Х, 2 > 2 2 - суммы проекций заданных сил.

На основании рассуждений, аналогичных предыдущим, если через а, Ь, с обозначить координаты точки р в подвижных осях, получим

-qc-rbX + Q,, db p, YY + Qy,

dt dc dt

где левые части представляют собой проекции на подвижные оси абсолютной скорости точки р. Кроме того, мы имеем для а значение 2 "fas- т. е.

а = m{qz - г у) = qmz - г 2 "У-

Вводя координаты , tj, С центра тяжести относительно подвижных осей и замечая, что тх = Ш.1.....мы напишем

Таким же образом получим

Ь==Ш(г1 - р:), e = Tt(pti-

Внесем эти значения а, Ь, с в уравнения (8). Тогда окончательно получим

е + 2

Q. + 2

так как %, tj, С - постоянные.

Если твердое тело закреплено в своем центре тяжести, то левые части предыдущих уравнений будут равны нулю и уравнения, опре-

10 Зак. 922. П. Аппель. т. И



деляющие реакцию, приведутся к следующим:

Реакция Q будет тогда равна и противоположна главному вектору R заданных сил. Этот результат очевиден на основании теоремы движения центра тяжести.

386. Применение осей, движущихся в теле. В предыдущем мы предполагали, что оси Oxyz неизменно связаны с твердым телом. Представим себе, что мы относим движение тела к триэдру Охуг, вершина которого совпадает с неподвижной точкой О и который

совершает в пространстве известное движение. Обозначим через ОЯ мгновенную угловую скорость вращения этого триэдра и через Р, Q, R - ее составляющие по подвижным осям Oxyz. С другой

стороны, пусть Ош - мгновенная угловая скорость вращения твердого тела, а p,q.r - ee составляющие по тем же осям. Так как

триэдр Oxyz не связан более с телом, то Ош отлично от 02. Придерживаясь того же пути, что и раньше, мы получим следующие результаты.

Абсолютная скорость точки тела. Пусть v - абсолютная скорость точки т тела, имеющей относительно осей Oxyz координаты X, у, Z. Эта скорость, являясь моментом вектора ш(р, q, г) относительно точки т, имеет следующие проекции на три оси:

v = qz - ry,

Vy =rx - pz,

V, =py - qx.

Кинетическая энергия тела. Кинетическая энергия Т определяется формулой

2Tmv=m [{qz - ryf + (rx -pzf-\-{py - qxf\.

Полагая, как и выше,

A = m{y + z-), Bm{z-\-x), С =m{xу),

D = myz, E=mzx, F = mxy,

по-прежнему получим

2Г = + 52 Сг2 - 2Dqr - 2Erp - 2Fpq.

В этих формулах А, В, С обозначают моменты инерции тела относительно осей Oxyz в момент времени t, а D, Е, F - центробежные моменты относительно этих же осей. Так как триэдр Oxyz, по предположению, движется как в пространстве, так и относительно тела, то эти шесть величин с течением времени изменяются.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0041