Главная Промышленная автоматика.

непосредственно получаем

p = Wi cos ср + со- sin ср,

q=Wi cos (? + y) + cos ср,

откуда находим окончательные формулы, определяющие р, д и г: p~Y sin 9 sin ср -f- 9 cos ср,

= sin 9 cos ср - 6sin<p, (2)

r =: cos 6-f-

Примечание. В этих формулах первые члены каждой из трех правых частей представляют собой три проекции соответственно на оси Ох, Оу и Oz вектора ф, направленного по оси Oz,. Отсюда получаются косинусы f, f, Y углов, которые образует ось Oz с осями Ох, Оу, Oz:

y = sin 9 sin ср, = sin 9 cos ср, y" = Cs6, (3)

что мы уже видели в предыдущем пункте.

Обратная задача. Мы только что видели, как, зная движение триэдра Oxyz, т. е. выражения 9, ср, ф или девяти косинусов а, .. . в функции t, можно вычислить проекции р, д, г мгновенной угловой скорости вращения триэдра в функции t.

Обратно, допустим, что известны р, д, г в функции t и что требуется вычислить 9, ср, ф или девять косинусов а, р, ... в функции t. Тогда надо будет проинтегрировать уравнения (2) первого порядка относительно 9, ср, ф. Можно показать, что эта задача приводится к интегрированию одного уравнения Риккати с комплексными коэффициентами. [См. Darboux, Lemons sur la theorie generale des surfaces, т. I, глава II; Mayer, Simmetrische LOsung, ... (Berichte der Konigl. sSchs. Geselschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 2 марта 1902) и курсы анализа, например, Гурса.]

383. Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки; применение триэдра, неизменно связанного с телом. Рассмотрим материальное твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О. Для определения положения этого тела относительно неподвижных осей Oxiy,z, достаточно рассмотреть прямоугольный триэдр Oxyz, неизменно связанный с телом. Тогда положение тела будет в каждый момент определяться положением этого триэдра, т. е. нужно бздет знать три угла Эйлера 9, ср, ф в функции времени.

Мгновенное вращение с угловой скоростью ш твердого тела бздет тогда тождественно с мгновенным вращением триэдра и его составляющие р, д, г по подвижным осям Oxyz определяются выще-приведенными формулами (2). Мы займемся сейчас вычислением кинетической энергии тела и главного момента количества движения различных точек тела относительно неподвижной точки О.



Кинетическая энергия тела. Пусть v - скорость какой-нибудь точки т тела, имеющей координаты х, у, 2 относительно подвижных осей Oxyz, связанных с телом. Так как проекции угловой скорости со на оси Oxyz суть р, q, г, то проекции v, Vy, скорости v на эти оси будут (п. 44)

v = qz - ry, Vy = rx--pz, v=py - qx,

откуда

v = vl+vl+vlр(J2 + z) + q (22 + x2)

-- r2 (x2 -- y) - 2qryz - 2rpzx - 2 pqxy. Воспользуемся обозначениями, принятыми в п. 318: 2 ffi (з;2 + 22) = Л, miz-i-x) = B, т{х-\-у) = С, myz = D, mzx = E, mxy = F,

где А, В, С-моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу, Oz, а D, Е, F - центробежные моменты инерции. Тогда, вычисляя полную

кинетическую энергию тела mv и обозначая ее через Т, получим

T = j(ApBq Сг - 2Dqr - 2Егр - 2Fpq).

Если, в частности, за оси Oxyz, связанные с телом, принять главные оси инерции в точке О, то коэффициенты D, Е, F будут равны нулю и кинетическая энергия примет вид

i- 2 = Г = i {Ар + Bq -f Cr).

Это же выражение кинетической энергии может быть получено следующим образом. Обозначим через Mk момент инерции тела относительно мгновенной оси и через а, Ь, с - направляющие косинусы этой оси относительно осей Oxyz. Получим (п. 318)

Mki = Аа"- -f ВЪ"- -\- Сс"- - 2Dbc - 2Еса - 2Fab.

Так как угловая скорость вращения равна », то кинетическая энергия

равна Л1й2й>2; с другой стороны, проекции р, q, г вектора » на оси

равны аи>, 6(0, С(о. Составив произведение Мк"а>, получим найденное уже выражение.

Моменты количеств движения. Главный момент. Построим для момента времени t главный момент Оа количеств движения всех точек тела относительно точки О. Проекции вектора Оа на подвижные оси равны Од,, Су, а. Каждая из этих проекций есть сумма моментов количеств движения относительно осей Ох, Оу и Oz. Проекции количества движения точки т на оси Ох, Оу, Oz равны

mv, mvy, mvg.



Следовательно, сумма моментов количеств движения относительно оси Ох всех точек тела будет

а=т {yv - zvy) = 2 m (+ 2) - qxy -гхг], или, располагая члены по порядку букв р, q, г, получим

aa; = Ap - Fq - Er. (4)

Это выражение при сравнении с выражением кинетической энергии Т показывает, что а=. Точно так же получим суммы <3у

тельно осей Оу и Ог: дТ


Если за оси Oxyz принять главные оси инерции тела в точке О, то выражения для од,, Оу, упростятся и превратятся в следующие:

о = Ар, ay = Bq, а, = Сг. (5)

Уравнения движения. Переходим теперь к задаче механики. На твердое тело действуют заданные силы F.....Fn реак- р. 225.

ция Q неподвижной точки О. Для вывода

уравнений движения мы применим теорему моментов количества движения.

Пусть L, М, N - суммы моментов заданных сил относительно осей Ох, Оу, Oz. Если построить главный момент этих сил относительно точки О, то получится вектор OS, проекции которого на оси Oxyz как раз равны L, М, N. Это - вектор главного момента относительно точки О всех внешних сил, так как этот момент

состоит из суммы моментов заданных сил, которая равна 05, и момента силы Q, который равен нулю (рис. 225).

Мы видели, что теорема момента количества движения выражается геометрически следующим образом: в каждый момент времени абсолютная скорость а точки о равна и параллельна вектору 05. Следовательно, проекции этой скорости равны проекциям L, М, N вектора OS. Но точка а имеет в системе подвижных осей координаты а, Оу, о. Когда t изменяется, изменяются и а, Оу, а. Точка а перемещается относительно подвижных осей Oxyz с относительной скоростью, проекции которой на оси Ох, Оу, Oz равны соответственно

dt •

d dt





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037