Главная Промышленная автоматика.

В положительном направлении вокруг Ог, чтобы совместить ее с Ох.

Угол Юу будет тогда равен Р + у.

Три угла е, ср, очевидно, не зависят друг от друга и могут быть выбраны совершенно произвольно. Каждой системе значений

этих углов соответствует одно и только одно положение подвижного триэдра Охуг.

Пользуясь терминами, употребляемыми в астрономии, прямую 01 иногда называют линией узлов, угол ф - углом прецессии, угол Q - углом нутации и tp - углом собственного вращения. Эти выражения всегда употребляются в случае, когда оси Охуг связаны с телом вращения вокруг оси Ог.

Формулы Оланда Род-Ряс. 224. рига. Легко выразить девять

косинусов в функции углов 6, tf, 4*. Мы не останавливаемся здесь на выводе этих формул, которые можно найти во всех курсах аналитической геометрии. Мы ограничимся лишь их написанием:

cos {х, х) = cos tp cos ф - sin tp sin Ф cos 9, cos {x, yi) = cos tf sin <j -f- sin tf cos 4- cos e, cos {x, Zi) = sin tp sin 9; cos (y, Xi) = - sin If cos - cos tp sin if cos 6,

cos (y, yi) = - sin tp sin -f- cos (f cos Ф COS 9,

cos (y, zi} = COS tp sin 9; cos (г, x-i) = Sin ф Sin e, COS (z, yi) = - COS ij sin 9, cos (г, i) = cos 9.


Если положить

= sin COS X z

- = COS sin

- = Sin -fr sin X 2

= -cos 2-cosm

to непосредственно эти четыре отношения окажутся связанными зависимостью

Х2 (х2 v2 -j- р2 = х2.



и шесть остальных аналогичных формул, определяющих девять косинусов в виде рациональных функций трех параметров, являющихся тремя отношениями трех из величин X, ft, v, р к четвертой.

Но можно идти еще дальше и еще более упростить классические формулы, выражающие координаты х,, у,, точки относительно неподвижных осей OxyiZ, через координаты х, у, г той же точки относительно осей Охуг. Для этого вводят четыре величины

а = е cos у, b=ie sin у,

с = /е sin 2". d= е cos -g-,

связанные соотношением

ad- be = 1.

Тогда можно показать, что формулы преобразования координат приводятся к одной и той же линейной подстановке

аи-\-Ь / аи -\-Ь "1 ~ cu + d • "i " си +d •

выполняемой одновременно для двух величин и и и.

Относительно формул Олинда Родрига мы отсылаем читателя к Lefons de Cinematique Кёнигса (Koenigs) и, в частности, к заметке Дарбу, помещенной в конце этой книги; далее относительно приведения формул преобразования координат к линейной подстановке мы отсылаем к той же книге Кёнигса, стр. 337, к сочинению Клейна (Klein) и Зоммерфельда (S о m ш е г-feld, Ueber die Theorie des Kreisels, гл. I) и к заметке Лакура (I. acour, Nouvelles Annales de Mathematique, 3 serie, т. XVIII, декабрь 1899).

382. ВспО!иогательные сведения из кине1иатики. Мгновенное вращение подвижного триэдра. Рассмотрим триэдр Oxyz, движущийся вокруг неподвижной точки О относительно триэдра Охуг,, рассматриваемого как неподвижный. Для определения этого движения углы Эйлера б, ср, ф должны быть заданы в виде непрерывных функций времени.

Мы видели в кинематике, что распределение скоростей в момент времени t в твердом теле, движущемся вокруг закрепленной точки, будет таким же, как если бы это тело совершало вращение с угловой скоростью u) вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.

Выражая теперь девять косинусов в функции четырех отношений и исключая затем при помощи последнего соотношения, получим формулы Родрига

<<Х l)= X2 + t.2 + v2+p2

2(Х(а - vp) Уг)= X2+t + v2+p2

2 (Xv + ixp)



Эта угловая скорость ш называется мгновенной угловой скоростью вращения в момент t и представляется, как мы Sto указывали (п. 43), некоторым вектором. Обозначим через р, q, г проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения подвижного триэдра на подвижные оси Ох, Оу, Ог. Мы выразили р, q, г в функции девяти косинусов и их производных по времени (п. 51). Сейчас мы займемся вычислением р, д, г в функции 6, ср, фи их производных 6, ср, Y по t.

Чтобы перевести триэдр из положения, которое он занимает в момент времени t и которое соответствует значениям 6, ср, ф трех углов, в положение, бесконечно близкое, которое он занимает в момент t-d и которое соответствует углам б + йб, ср--rfcp, можно поступить следующим образом.

Сначала нужно повернуть триэдр на угол вокруг оси Ог,; тогда ф увеличится на d, а ср и б не изменятся. Вокруг нового положения линии 01 нужно повернуть триэдр на угол dB. Наконец, вокруг нового положения оси Ог нужно повернуть его на угол rfcp. Если предполагать, что эти три угловых перемещения делаются в пространстве в течение промежутка времени dt, то соответствующие угловые скорости вращений будут ф, б и ср.

Можно сказать, что мгновенное вращение триэдра с угловой скоростью ш является результирующим трех вращений вокруг осей Ог,, О/ и Ог с угловыми скоростями У, 6, ср. Эти три составляющие вращения представляются векторами, равными б, и лежащими на осях Ozi, 01 и О г (рис. 224). Результирующий вектор ю является геометрической суммой этих трех векторов. Его проекция на произвольную ось равна сумме проекций составляющих векторов ф, 6 и ср на ту же ось.

Мы найдем сначала проекции мгновенного вектора ш подвижного триэдра на взаимно-перпендикулярные оси 01, 0J, Ог, где ось 0J

лежит в плоскости хОу и образует с осью 01 угол -f-y- Обозначим через <j)j, u>j, («2 эти три проекции, из которых третья равна г. Чтобы их найти, достаточно заметить, что вектор ф, лежащий в плоскости zOJ, может быть разложен на его две проекции ф и ф на оси 0J и Ог, так что

ф:=:ф8шб, ффсОЗб.

Тогда три составляющие вектора ш по осям Of, 0J, Ог будут

a)j = 6, ш=ф8ш6, г = фcos 6-f ср. (1)

Чтобы найти теперь р ч q, достаточно взять суммы проекций и loj на оси Ох и Оу. Так как взаимно-перпендикулярные оси /О/ лежат в плоскости хОу и ось Ох образует с осью 01 угол ср, то





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038