Главная Промышленная автоматика.

где постоянная Л кинетической энергии на основании начальных условий имеет значение

После исключения а и if получится окончательно для г уравнение вида f = - (г - а)2-f Л,

где {г) - положительно при всех значениях г, удовлетворяющих условию г > а. Необходимо, чтобы правая часть была также положительна, для чего

требуется, чтобы г < у

Можно найти в замкнутой форме соотношение между гну.

32. Однородная пластинка имеет форму пятиугольника ABCDE, образованного соединением прямоугольника АВСЕ и равнобедренного треугольника CDE с вершиной D. Сторона АВ имеет длину 3 м, сторона ВС ~ длину 4 -И и высота DH треугольника имеет длину 2 м. Масса пластинки равна 10 г.

1°. Определить эллипсоид инерции этой пластинки относительно точки О пересечения диагоналей АС и BE прямоугольника АВСЕ (коэффициенты написать в единицах COS).

2°. Пластинка, предполагаемая весомой, начинает колебаться вокруг закрепленной горизонтальной прямой АС. Определить период бесконечно малых колебаний.

Ответ. Полагая АВ = 2а, ВС = 26 и обозначая через т всю массу, т = 5ра6, где р - масса единицы площади, имеем а = -Ь. Моменты инерции относительно осей Ох (параллельной АВ) и Оу имеют значения

19 27 84

А = тЬ и В-тЬ, а относительно оси ОС - J=mb\ Тогда

- „ •,/~420 . = 2/ 981 = 4

сек.

В качестве независимых параметров примем г и (р и допустим, что в начальный момент система выходит из покоя и точка М находится в вершине А (Лиценциатская, 1902).

Ответ. Можно применить теорему моментов количеств движения относительно точки О и теорему кинетической энергии. Таким путем получатся два уравнения:

;ргии на 0(



ГЛАВА XX

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

380. Историческая справка. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки была впервые затронута Даламбером в его работе Precessions des equinoxes (Предварение равноденствий), опубликованной в 1749 г. Тогда еще не были известны щесть общих уравнений равновесия свободного твердого тела; были известны лишь три первых уравнения, согласно которым суммы проекций сил на каждую из осей координат равны нулю,- но не были известны три остальных уравнения, выражающих, что суммы моментов относительно каждой из осей координат равны нулю, т. е. именно те, которые нужны для решения задачи о движении тела вокруг неподвижкой точки. Эти уравнения и вывел впервые Даламбер в упомянутой работе. Они играли в ней существенную роль. От них Даламбер перешел при помощи своего принципа (Traite de Dynamique, опубликованное в 1743 г.) к уравнениям движения, так что составление уравнений задачи всецело принадлежит ему.

После Даламбера Эйлер представил в окончательном виде уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки *). Он же первый нашел точные интегралы в случае, когда внешние силы равны нулю, или имеют равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. (См. Мемуары Берлинской Академии за 1758 г.)

Лагранж, Лаплас и Пуассон продолжали исследование этих вопросов и решили новые задачи или улучшили решения старых. Лагранж впервые решил задачу о движении тяжелого тела вращения, закрепленного в одной из точек своей оси (Аналитическая механика, раздел IX). Эта же задача была позже исследована Пуассоном как совершенно новая. Решение, которое он дал, без всякой ссылки на Лагранжа помещено в Journal de IEcole Poiytechnique, XVI" Cahier, 1815.

Пуансо, вернувшись к частному, изученному Эйлером, случаю, когда внешние силы равны нулю, выполнил глубокое синтетическое исследование (Journal de Liouville, l™ serie, т. XVI); он пришел к исключительно изящной геометрической интерпретации движения.

*) См. статью Лиувилля (Journal de Liouville, 2« serie, т. III).



Якоби (Crelle, т. 39) дал окончательное решение задачи Эйлера при помощи эллиптических функций, выразив девять направляющих косинусов главных осей инерции тела относительно неподвижных осей как однозначные фзнкции времени. В 1883 г. Эрмит в своей работе «Sur quelques applications des fonctions elliptiques» привел вычисление этих девяти косинусов к интегрированию уравнения Ляме и определил аналитически все элементы решения Пуансо.

Наконец, Ковалевская в работе, премированной Академией наук (Acta mathematica, т. XII), нашла еще один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

При изложении этой главы мы будем указывать на усовершенствования, внесенные в эти общие теории различными авторами.

I. Общие уравнения

381. Вспомогательные сведения из геометрии. Переменные, определяющие положение подвижного триэдра относительно неподвижного триэдра с той же вершиной. Рассмотрим прямоугольный неподвижный триэдр Oxiy,z, и прямоугольный подвижный триэдр Oxyz, ориентированный так же, как неподвижный. Мы будем предполагать, что в обоих триэдрах вращение на 90° в положительном направлении вокруг оси z переводит ось х в ось у. В аналитической геометрии положение триэдра Охуг определяют обычно девятью косинусами углов, которые образуют оси Охуг с осями Oxiy,z,:

а =cos(x, xJ, р =cos{x, у,), =cos(x, z,),

а= cos{y, X,), P = cos(j, ji). Ycos{y,Zi),

a" = cos(2, X,}, P" = C0S(2, Ji), 7" = COS(2, 2i).

Между этими девятью косинусами существуют шесть известных соотношений, так что три из косинусов, подходящим образом выбранных, могут рассматриваться как произвольные. Отсюда ясно, что эти девять косинусов можно выразить в функции трех независимых параметров.

Наиболее употребительными переменными в механике являются углы Эйлера, а в современной геометрии - параметры Олинда Род-рига (Olinde Rodrigues) и те, которые из них вытекают.

Углы Эйлера. Пусть Of (рис. 224) есть линия пересечения плоскости ху с плоскостью х,у,. Выберем произвольно на этой прямой положительное направление Of и обозначим через ф угол между ним и направлением Ох,, причем этот угол будем считать положительным в сторону положительного вращения от Ох, к Of вокруг Ог,. Прямая Of перпендикулярна к плоскости гОг,. Пусть 6 - угол между Oz, и Oz, считаемый положительными от Ог, к Oz в сторону положительного вращения вокруг Of. Ось Ог перпендикулярна к плоскости fOx. Пусть ср - угол, на который нужно повернуть прямую Of





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [40] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037