Главная Промышленная автоматика.

рде е - постоянная толщина материальной поверхности, предполагаемой бесконечно тонкой, ар - постоянная плотность слоя.

Боковая поверхность усеченного конуса. Если г и г - радиусы оснований конуса, то

Сферический сегмент радиуса R и высоты Н:

И. Моменты инерции однородных тел вращения относительно ах оси. Усеченный конус. Пусть гиг - радиусы обоих оснований конуса. Тогда

10 /-3 -/-*

Сферический слой. Пусть г и г - радиусы обоих оснований слоя, Я-его высота и R - радиус сферы. Тогда

У = 7рЯ[20?2 2 + 15 + гТ - ЗЯ*]

[Do St or (Достор), Archiv. de Grfinert].

12. Рассмотрим неподвижную точку О и переменную ось 08, проходящую через эту точку. Проведем плоскость Р, перпендикулярную к оси 05, на расстоянии от О, равном радиусу инерции материальной системы относительно 08. Найти огибающую плоскостей Р. [Эта огибающая является эллипсоидом. Clebsch (Клебш), Crelle, т. 57.]

13. Пусть

/ (г) = (г - гг) (г - га)... (г - гр) = О

- уравнение степени р относительно комплексной переменной г, а г,, г,... .... гр -его корни. Изобразим эти корни по методу Коши в виде точек на плоскости и будем затем рассматривать эти точки как материальные с массой, равной единице. Условимся, наконец, называть центральными точками порядка 1,2,3,... корни последовательных производных /(г),/"(г), ... Тогда имеют место следующие теоремы:

Центральная точка порядка р - 1 есть центр тяжести заданной системы.

Прямая, соединяющая центральные точки порядка р - 2, направлена по большой оси центрального эллипсоида инерции системы.

Если через А я В обозначить радиусы инерции относительно главных центральных осей инерции, лежащих в плоскости системы, то разность А - В равна помноженному ш р-\ квадрату половины расстояния между центральными точками (р - 2)-го порядка.

Чтобы выполнялось условие А = В, необходимо и достаточно, чтобы две последние точки совпадали (Lucas, Bulletin de la Societe raatlieraatique, T. XX, стр 10 и 17).

14. Какую форму следует придать однородной массе заданной величины М, чтобы ее момент инерции относительно заданной точки О имел минимум?

Ответ. Форму шара с центром в точке О.

15. Для заданной системы точек исследовать комплекс, образованный осями, относительно которых момент инерции имеет заданное значение Mq.



Ответ. Приняв обозначения пункта 321, получим комплекс второго порядка, образованный прямыми, через которые можно провести к поверхности

v3 zi

+ + -1-1=0

ai- bi-S ci-S

взаимно-перпендикулярные касательные плоскости.

16. Исследовать также комплекс, образованный совокупностью главных осей относительно различных точек пространства.

(Комплекс образован нормалями к семейству софокусных поверхностей второго порядка.)

17. Прямые предыдущего комплекса, проходящие через точку О, образуют конус. Найти геометрическое место точек, для которых образующие этого конуса являются главными осями (геометрическое место оснований нормалей, проведенных из точки О к софокусным поверхностям).

18. Найти геометрическое место точек, для которых эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения.

[Необходимо, чтобы уравнение (2), стр. 24 имело два одинаковых корня; получаются эллипс и гипербола, лежащие в двух главных плоскостях относительно центра тяжести.]

19. В эллипсоиде инерции наименьшая полуось больше или равна расстоянию от центра до прямой, соединяющей концы двух других полуосей.

20. В плоскости хОу дана фигура, ограниченная замкнутой кривой С. Показать, что вычисление следующих элементов: 1) площади фигуры; 2) ординаты центра тяжести площади; 3) момента инерции этой площади относительно оси Ох; 4) момента инерции однородного тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ох, приводится к вычислению интегралов:

\) jydx; 2)fyidx; 3) J ydx; 4) f ydx,

взятых вдоль кривой с (См. Аппель, Analyse mathematique, Paris, Gaut-hier-Villars).



ГЛАВА XVIII

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ. СЕМЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

324. Указание метода. Как мы уже делали в статике, мы будем рассматривать произвольную материальную систему, образованную твердыми телами, жидкостями, газами, как состоящую из большого числа материальных точек, подчиненных некоторым связям. Твердое тело, например, есть совокупность точек, находящихся на постоянном расстоянии между собой.

Общие теоремы получаются, если написать уравнения движения точек системы и составить из этих уравнений соответствующие сочетания.

I. Теоремы проекций и моментов количеств движения

325. Силы внутренние и внешние. Внутренними силами системы называются силы взаимодействия между ее точками. Согласно закону равенства действия и противодействия эти силы попарно равны и противоположно направлены. Например, если точка М системы притягивает другую ее точку М с некоторой силой, то точка М притягивает точку М с силой, равной и противоположной первой.

Силы, отличные от внутренних сил, называются внешними си-лам и.

Пусть х,, у,, г,, Х2, У2, .....х„, у, г„ - координаты различных точек М,, Жз.....М„ системы, массы которых т,, /Иа ....

т„. Если мы рассмотрим какую-нибудь из этих точек, имеющую массу от и координаты х, у, г, то все действующие на нее силы мы сможем разделить на две категории:

1) одну, которая содержит внутренние силы F, действующие на точку М; проекции силы Fi мы обозначим через Aj, К{, Zji

2) другую, которая содержит внешние силы Fg, действующие на ту же точку; проекции силы мы обозначим через Х, Kg,





0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0042