Главная Промышленная автоматика.

/ rfe\2 g

\dt) - Г

т J у mi

Разлагая последний множитель в ряд по степеням 6 и отбрасывая степени выше второй и произведение «262, получим:

откуда

g m + mi •

Если m будет неограниченно возрастать, то в пределе получится период колебаний математического маятника, что можно было видеть заранее, так как тЬгда масса т не будет больше перемещаться.

19. Тяжелый прямоугольный треугольник, лежащий в вертикальной плоскости, может скользить без трения по горизонтальной оси Ох, на которую он опирается катетом. По гипотенузе катится вертикальный однородный тяжелый диск, оставаясь в вертикальной плоскости треугольника. Найти движение системы (Лиценциатская).

Ответ. Положение системы зависит от двух параметров: абсциссы какой-нибудь точки треугольника и угла поворота диска. Теорема количества движения в проекциях на ось Ох и теорема кинетической энергии позволяют составить два уравнения движения.

20. Однородный тяжелый диск, лежащий в вертикальной плоскости, катится без скольжения по неподвижной прямой Ох этой плоскости. Центр диска притягивается к неподвижной точке О этой прямой с силой, пропорциональной расстоянию. Найти движение диска.

Ответ. Так как система имеет полные связи и сопротивление качению отсутствует, то достаточно применить теорему кинетической энергии. Движение является таутохронным.

21. Четыре материальные точки одинаковой массы находятся в заданной неподвижной абсолютно гладкой плоскости и образуют вершины шарнирного ромба, сторонами которого являются четыре твердых стержня пренебрежимо малой массы.

Системе сообщается в заданной плоскости известное движение. Предлагается найти последующее движение, допуская, что внешних сил нет и трение в шарнирах отсутствует.

Для определения движения, которое получится после того как две точки столкнутся, нужно рассматривать эти точки как тела, абсолютно лишенные упругости.

Исследовать, в частности, случай, когда в начальный момент середины двух противолежащих сторон ромба имеют скорости, равные нулю (Лиценциатская, Каена).

которые вместе с соотношением, выведенным в теореме моментов, позволяют определить г, в и а в функции t.

18. Для разобранного в примере IV п. 366 эллиптического маятника вычислить период бесконечно малых колебаний маятника. Каким становится этот период при неограниченном возрастании /я?

Ответ. Обозначив через а угол начального отклонения, имеем fe = -cos а. Так как бия очень малы, то можно считать

sin е = е, cos е = 1 -, а = \*--.

Тогда имеем:

т + т а2 82



22. Определить движение машинЫ Атвуда в воздухе, считая, что воздух оказывает движению грузов, привязанных к нити, сопротивление, пропорциональное скорости (Лиценциатская, Клермон).

23. Однородный стержень ВС скользит по неподвижной прямой хх. Все элементы стержня притягиваются неподвижным центром А с силами, пропорциональными массам этих элементов и их расстояниям от центра А. Притяжение точкой А элемента стержня, равного единице длины, на расстоянии, равном единице, выражается силой, равной единице. В начальный момент стержень ВС неподвижен. Если из точки А опустить на хх перпендикуляр АО, то длина АО равна 2а и расстояние от О до середины стержня ВС равно в начальный момент 7а. Найти движение ВС.

\°. Считать, что стержень ВС скользит по хх без трения.

2°. Считать прямую хх шероховатой, и коэффициент трения стержня ВС о прямую хX равным 1. Найти в этом случае промежуток времени, по истечении которого стержень ВС остановится и положение, которое к этому времени займет стержень (Лиценциатская, Марсель, 1884).

24. Однородный тяжелый шар положен на шероховатую наклонную плоскость с коэффициентом трения /. Будет ли шар катиться без скольжения или скользить?

[Если обозначить через а угол наклона плоскости к горизонту, то при 2

/>ytga шар будет катиться (Routh, Rigid Dynamics, т. I, п. 161),]

25. Однородный шар, вращающийся с угловой скоростью Q вокруг своего горизонтального диаметра, положен на горизонтальную шероховатую плоскость. Найти движение.

[Задача, аналогичная задаче о колесе в п. 371. До момента времени 2 аО.

ti - < "" - радиус, будет происходить скольжение. После этого будет

равномерное качение, если пренебречь трением качения (Раус, п. 162).]

26. Однородный тяжелый стержень АВ имеет на концах два колечка, при помощи которых он скользит с трением вдоль двух горизонтальных взаимно-перпендикулярных прямых Ох и Оу. В положении, бесконечно близком к Ох, стержню сообщена мгновенная угловая скорость Q. Найти движение.

[Нужно различать два случая в зависимости от того, будет ли / больше или меньше чем (Раус, там же, п. 166).]

27. Однородный тяжелый круг может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Когда круг находился в покое, на него в точке rriQ была положена материальная точка такой же массы, как и круг. Точке сообщена начальная горизонтальная скорость vq, перпендикулярная к радиусу, проходящему через «о- Определить движение системы, зная, что между точкой и окружностью имеется трение с коэффициентом /.

28. Точка т эллиптического маятника (п. Зб6) может скользить с трением по оси Ох. Маятник был отклонен на угол а от вертикали и отпущен без начальной скорости. Каким должен быть этот угол а, чтобы точка т осталась неподвижной? (См. конец п. 375.)

29. Изохронный маятник Филлипса (Phillips). Дан маятник, ось вращения которого проектируется в точку О и центр тяжести которого находится в некоторый момент времени в точке G (рис. 223). Маленькая стальная пластинка DBE заделана концом D, где ее касательная горизонтальна и перпендикулярна к оси О. Конец Е пластинки свободен и немного переходит за вертикаль 0V. Пластинка связана с маятником при помощи тяги АВ малого сечения и очень малой массы. Тяга соединена шарнирно с одной стороны с маятником в точке Лис другой стороны с пластинкой р точке В. В положении равновесия точка В находится в положении С на вертикали 0V, так что ОС = 0А-\- АВ. Кроме того, дано О А = АВ.



Прибор можно отрегулировать таким образом, что если написать его

уравнение движения


Рис. 223.

то правая часть, разложенная по возрастающим степеням а, будет содержать член с « и затем член с «5, а промежуточные члены будут отсутствовать. Движение будет тогда изохронным при малых колебаниях (Comptes rendus, 26 января 1891).

30. В вертикальной плоскости закреплен неподвижно круглый диск А, окружность которого щероховата.

I. Тяжелая точка Р положена без начальной скорости на окружность диска А вблизи его наивысшей точки.

1°. Требуется определить наименьший угол а между радиусом, проходящим через Р, и направленной вверх вертикалью, при котором равновесие нарушится.

2°. Если точка Р положена без начальной скорости на диск таким образом, чтобы радиус, проходящий через Р, образовывал с вертикалью угол, несколько больший чем а, то точка Р будет сначала скользить по диску, а затем покинет его. Требуется составить уравнение, определяющее угол между радиусом, проходящим через точку Р, и вертикалью, когда Р отрывается от диска и начинает падать. П. На круглый диск А в его плоскости кладется второй однородный тяжелый круглый диск В, радиус которого составляет половину радиуса диска А. Окружность диска В щероховата, так что между обоими дисками имеет место трение. Сопротивлением качению пренебречь.

В начале диск В не имеет скорости и радиус диска А, оканчивающийся в точке касания обоих дисков, образует с направленной вверх вертикалью острый угол р.

Между какими пределами должен заключаться угол р для того, чтобы диск В сначала катился без скольжения по диску А!

Допуская, что движение диска В начинается с качения, исследовать это движение и составить уравнения, определяющие:

1° угол, который образует с направленной вверх вертикалью радиус диска А, проходящий через центр диска В, в момент, когда прекращается простое качение без скольжения;

2° аналогичный угол в момент, когда диск В отделяется от диска А.

В обоих вопросах коэффициент трения скольжения равен /.

31, Равносторонний материальный треугольник ОАВ, который может скользить по неподвижной горизонтальной плоскости дгОу, вращается вокруг своей закрепленной вершины О. По стороне АВ скользит материальная точка 1Л массы 1, прикрепленная к вершине О упругой невесомой нитью ОМ., длина которой в нерастянутом состоянии равна высоте 0Н= а треугольника. Натяжение нити пропорционально ее удлинению, так что, когда нить имеет длину ОМ = г, ее натяжение равно 2k{r - а), где й - некоторая положительная постоянная. Найти движение системы, предполагая, что связи осуществлены без трения.

Обозначения и. начальные условия. Расстояние ОМ обозначим через г, угол Я0Л1 -через а, угол л:ОЯ-через ly, момент инерции треугольника

относительно вершины О - через /; при этом нужно заметить, что cos а = -.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038