Главная Промышленная автоматика.

to, в примере 111 п. 366 двойной конус заменяется шаром, имеющим центр в вертикальной плоскости £0С, проведенной через биссектрису Ох угла DOD и катящимся без трения по направляющим 0D и 0D.

Найти движение этого шара (бильярдный шар, катящийся между двумя киями, образующими угол).

Результаты. Легко проверить, что центр С шара описывает в вертикальной плоскости уОх, проведенной через биссектрису Ох угла между

направляющими, эллипс ВС А с полуосями ( =-. b = R, где ? - половина угла между направляющими (рис. 221).

Так как шар катится по обеим направляющим, то мгновенной осью вращения шара является прямая, соединяющая обе точки касания с Направляющими. Точка 7", в которой эта ось пересекает ось Ох, есть мгновенный центр вращения в плоскости уОх и СТ есть нормаль к эллипсу, проведенная из точки С. Обозначим через г длину этой нормали, через 8 - угол, на который повернулся шар от своего начального положения, через rfs -элемент дуги эллипса.

Скорость V точки С, согласно основному свойству мгновенного центра вращения, есть


Рис. 221.

Если обозначить через и эксцентрическую аномалию точки С эллипса, то координаты этой точки х и у будут:

X = а cos и, у = b Sin а. Для длины нормали СТ легко получается:

Г2 = (а Sln2 « -f *2 C0S2 и).

а для линейного элемента эллипса

ds2 = (а sin а -f й2 cos и) du = "jF Внося это значение в равенство (1), получим:

Наконец, высота С центра тяжести С над горизонталью 05 равна

С = л: sin / -f- у cos / = а sin / cos а -f- 6 cos / sin и, (3)

где i - угол xOi.

Кинетическая энергия шара по теореме Кёнига равна

где Л1/&2-г-момент инерции шара относительно диаметра. Следовательно, применяя теорему кинетической энергии и предполагая, что шар выходит

9 Зак. 922. п. Аппель, т. II



без начальной скорости из положения, для которого и = «о. получим, принимая во внимание равенство (2):

(i!! + ...„.« + *cos2«)() =

= 2g [а sin / (cos «о - cos u) + b cos / (sin ii - sin «)]. (4)

Эта формула определяет t в функции а при помощи квадратуры. Таким образом, можно изучить движение. Для того чтобы казалось, что шар поднимается, необходимо и достаточно, чтобы при этом движении его центр тяжести опускался.

Можно показать, что с кинематической точки зрения движение шара получится, если заставить катиться по оси Ох эпициклоиду (Mannheim, Journal de Liouville, 1859; Comptes rendus, 3 ноября 1890).

11. Однородная круглая трубка массы М бесконечно малого поперечного сечения вращается без трения в горизонтальной плоскости вокруг одной из своих точек О, закрепленной неподвижно. Материальная точка массы т движется без трения внутри трубки и отталкивается точкой О пропорционально расстоянию.

Найти движение системы, предполагая, что она предоставлена самой себе без начальной скорости.

Обозначить через R радиус сечения трубки, через Mk - ее момент инерции относительно точки О, через в - угол, который образует диаметр OA с неподвижной осью Ох, и через а - угол между радиусом-вектором От и диаметром OA (Лиценциатская).

12. Рассмотреть колесо, вращающееся вокруг вертикальнойоси. Спицы этого колеса полые. В каждой из них находится шарик массы т. Центры этих шариков в начальный момент находятся на одинаковых расстояниях с от оси колеса.

Колесо приводят в движение, сообщив ему начальную угловую скорость п. Найти движение шариков.

Центр каждого шарика описывает кривую, уравнение которой имеет вид гспе = с (Oreenhill, Fonctions elliptiques, n° 88).

13. Дана четверть окружности радиуса R, ограниченная с одной стороны вертикальным радиусом Оу. Однородный тяжелый стержень АВ длины 21 скользит без трения по этой четверти окружности, причем так, что его конец А перемещается (тоже без трения) по вертикальному радиусу Оу.

1°. Найти положение равновесия стержня.

2°. Найти движение стержня, если он вначале был горизонтален и был предоставлен самому себе без начальной скорости.

Обозначив через а угол ст.ержня с горизонталью Ох, показать, что

в частном случае, когда R = I значение угла а колеблется между О и

(Лиценциатская, Париж).

14. Однородный тяжелый стержень АВ привязан за свою среднюю точку С к неподвижной точке О при помощи нерастяжимой и невесомой нити ОС. Стержень остается все время в вертикальной плоскости. Найти движение стержня и натяжение нити.

Обозначить через / длину нити, М - массу стержня, 6 - угол между нитью ОС и вертикалью Ох и через а - угол, образуемый стержнем АВ с этой же вертикалью.

15. Рассмотреть однородный стержень OA массы М и длины /, лежащий в горизонтальной плоскости уОх и вращающийся вокруг своего неподвижного конца О. Другой стержень АВ той же массы М, но длины 21 соединен шарнирно с первым своим концом А. Середина С этого второго стержня притягивается точкой О обратно пропорционально кубу расстояния.

Найти движение системы.



Обозначить через 9 угол хОА между ОА и неподвижной осью Ох. через tf - угол СОА и через - абсолютное значение силы притяжения

к точке О. Считать, что система выходит из состояния покоя и что

в начальном положении 6 = 0, <р = (Лиценциатская, Париж).

16. Материальный однородный квадрат бесконечно малой толщины со стороной 2а и массой т может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Насекомое той же массы, рассматриваемое как точка, находится вначале на середине одной из сторон квадрата в точке А, и вся система неподвижна. В момент t = 0 насекомое начинает двигаться вдоль этой стороны, причем путь, пробегаемый по ней насекомым, пропорционален времени. Найти движение системы.

Ответ. Центр тяжести О остается неподвижным. Примем эту точку О за начало, а за оси Ох и Оу - прямые, параллельные сторонам квадрата в начальный момент (рис. 222). В момент t У

насекомое будет находиться в точке М, центр квадрата - в точке С, точка А, середина стороны, в Л и по предположению АМ = vt, где V-постоянная. При этом, так как массы насекомого и квадрата одинаковы, то точка О является серединой СМ (рис. 222).

С о

Рис. 222.

Пусть а - угол, на который повернулся квадрат в отрицательном направлении, т. е. угол между С А и Ох, а г и 6 - полярные координаты точки М. Тогда

г= = 4-/a + v4i, 6 + 0 = "= arctg-.

Полярными координатами точки С являются г и в я.

Сумма моментов количеств движения относительно точки О равна нулю, так как эта сумма постоянна, а в начальный момент она равнялась нулю. Имеем, следовательно, уравнение

2г2в - feSa = О,

в котором тк есть момент инерции квадрата относительно его центра. Из этого уравнения и из двух предыдущих, решая их совместно, определяем г, 6 и а в функции t.

17. Та же задача с заменой квадратной пластинки пластинкой произвольной формы при следующих условиях. Пусть С-центр тяжести пластинки, А - фиксированная точка на ее контуре. М--переменная точка контура, положение которой определяется дугой, причем AM = s; тогда

CM=f(s), ACM = f(s).

Ответ. Если насекомое выходит из точки А и, двигаясь равномерно, описывает дугу s = vt, то при обозначениях предыдущего упражнения имеем соотношения:

r = -i/(i»0, e+« = <f(t;0,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037