Главная Промышленная автоматика.

Но этот вывод противоречит сделанному предположению, что

Ф > X > О,

так как если все скорости обращаются в нули, а реакции предполагаются конечными, то Ф тоже обратится в нуль и не может быть больше X.

Таким образом, доказано, что при возрастании t величина Ф стремится к нулю. Следовательно, различные члены

UNyVx, foNv,..... fpNj,Vp,

составляющие величину Ф, стремятся все к нулю. Тогда некоторые реакции, например, N,, N, .... Nk, тоже стремятся к нулю. Система стремится освободиться от вызывающих эти реакции связей с трением. В то же время стремятся к нулю скорости ua+i, ,Vp остальных точек, в которых

происходит трение, и соответствующие скольжения стремятся- исчезнуть.

Таким образом, система в совокупности стремится избежать трения.

Мы приняли для простоты обычные законы трения скольжения. Но те же выводы остаются верными, если принять следующий общий закон: сила трения скольжения твердого тела А по твердому телу В, рассматриваемому как неподвижное, есть существенно положительная сила f-, направленная в сторону, противоположную скорости V точки касания, и обращающаяся в нуль только тогда, когда равна нулю нормальная реакция. Действительно, при этих условиях элементарная работа силы F, равная - Fv dt, является существенно отрицательной величиной, обращающейся в нуль только тогда, когда равна нулю или нормальная реакция или скорость скольжения.

Те же рассуждения распространяются и на случаи трения качения и трения верчения. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что для трения, например, качения элементарная работа силы, вызванной трением качения, имеет вид -Kdt, где К - положительная величина, обращающаяся в нуль только тогда, когда либо прекращается качение, либо когда оба катящихся друг по другу тела разделяются.

Достаточно общий пример можно найти в двух статьях Лекорню (Comptes rendus, 2е semestre, 1906, стр. 1132; Bulletin de la Societe mathematique, T. XXXV, 1907, стр. 3). Можно также указать на посвященную этой теме статью Е. Даниэля (Е. D а п i е I е, Nuovo Cimento, serie V, т. XV, июнь 1908).

Аналогичные рассуждения можно применить и к сопротивлению среды. (См. статью Аппеля в сборнике: Hommage а Louis. Ollivier, Imprimerie Maretheux, 1911.)

УПРАЖНЕНИЯ

1. Маятник с двумя грузами (метроном). Рассмотрим физический маятник, образованный однородным стержнем, вращающимся в вертикальной плоскости вокруг оси О, перпендикулярной к этой плоскости. Часть этого стержня, расположенная ниже оси О, очень коротка и имеет на конце достаточно тяжелый груз, являющийся движущим грузом. Часть стержня, расположенная над осью О, длиннее и несет маленький грузик, который может скользить вдоль стержня и может быть закреплен в любом месте его. Он является регулирующим грузом.

Исследовать период малых колебаний в зависимости от положения регулирующего груза.

[Достаточно применить теорию физического маятника, замечая, что момент инерции изменяется с положением регулирующего груза (Hirn, Comptes rendus, т. CV, стр. 40).J



2. Однородная дверь закреплена при помощи двзх петель на оси, образующей заданный угол с вертикалью. Найти движение и давление на петли (Routh, Rigid Dynamics, т. I, стр. 97).

3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz под действием сил, расположенных симметрично относительно плоскости окружности, описываемой центром тяжести. Тело само также симметрично относительно этой плоскости. Найти давления на ось.

Ответ. Очевидно, что в этом случае давления на ось могут быть приведены к одной-единственной силе, приложенной в точке пересечения оси с плоскостью симметрии и лежащей в этой плоскости. Общие фор.мулы определяют эту силу.

4. Рассматривается определенная однородная масса, имеющая форму цилиндра заданной высоты, которую заставляют колебаться вокруг параллели к образующим. Какую форму должно иметь основание и как должна быть выбрана ось подвеса, чтобы длина синхронного математического маятника была минимальной?

Ответ. Основание должно быть кругом, а ось должна проходить через середины сторон вписанного квадрата (De S а i п t-0 е г m а i п. Bulletin de la Societe mathematique de France, т. II, стр. 54).

5. Оси подвеса физического маятника, для которых длина синхронного математического , маятника имеет заданную величину. Рассмотрим определенное твердое тело. Если это тело подвесить к прямой Д, неизменно связанной с ни.ч, то длина синхронного математического маятника будет иметь некоторое значение /. Назовем точкой подвеса проекцию / центра тяжести G твердого тела па ось Д. Тогда через каждую точку подвеса / проходит бесчисленное множество осей подвеса Д, перпендикулярных к QJ. Этим осям соответствуют, вообще говоря, различные длины / синхронных математических маятников.

Все точки подвеса, через которые проходит по крайней мере одна ось Д, причем такая, что / имеет заданную величину к, лежат между двумя центральными поверхностями с центром в точке G, или на одной из этих поверхностей. Через точки подвеса, лежащие на одной из поверхностей, проходит только одна ось подвеса Д, удовлетворяющая условию 1 = к. Через точки подвеса, лежащие между обеими поверхностями, проходят две такие оси. Если поверхности имеют конические точки (что будет, когда центральный эллипсоид инерции тела является эллипсоидом вращения), то через каждую из этих точек, принятых за точку подвеса, пройдет бесчисленное множество осей (Bocklen, Journal de Crelle, т. 93).

6. Два материальных однородных одинаковых стержня АВ и АВ длины 2/ и массы М шарнирно соединены друг с другом концами А. Требуется определить движение этих стержней, предполагая, что они скользят без трения в горизонтальной плоскости.

Обозначить через 5, i\ координаты центра тяжести G системы, через 6 угол прямой GA с осью ОХ, через 2а - угол ВАВ между обеими стержнями и через Мк- - момент инерции каждого стержня относительно его середины (Лиценциатская, Париж, 1885).

7. Прямолинейная однородная трубка АВ бесконечно малого сечения и длины 2а скользит без трения по горизонтальной плоскости. Материальная точка М, масса которой равна массе трубки, движется без трения внутри нее. Найти движение системы и давление точки М на трубку.

Обозначить через 8 угол АВ с неподвижной осью ОХ и через 2г-отрезок СМ, отсчитываемый от центра трубки. Исследовать, в частности, случай, когда начальная скорость центра тяжести системы и начальное значение

величины ~ равны нулю. Указать в это.ч случае форму траектории точки М

(Лиценциатская, Париж, 1887).



г выражается как однозначная функция от в через эллиптическую функцию (см. Oreenhill, Fonctions elliptiques et leurs applications, стр. 107, n° 86).

8. По горизонтальной плоскости скользит без трения твердая трубка бесконечно малого сечения. Эта трубка выполнена в форме кривой, которая, если ее отнести к ее центру тяжести С как к началу и к некоторой оси СА, неизменно связанной с трубкой, как к полярной оси, имеет заданное уравнение 6=/(г). Внутри трубки скользит без трения точка т той же массы, что и трубка. Найти движение системы при произвольных начальных условиях

Ответ. Центр тяжести G, являющийся серединой отрезка Cm, движется прямолинейно и равномерно. Отнесем движение к осям Gx, Gy, проведенным через точку G и имеющим постоянные направления. Тогда положение

системы определяется полярными координатами Gm = у, тЗх = а точки т и углом р между СА и Gx, По теореме кинетической энергии имеем

г2 +г2а4-2Азр =Л,

а по теореме моментов -

га +2kY = const.

Но 9 = yfCAf = а - р = /(г), откуда а, р и г определяются в функции t.

9. Прямолинейная однородная трубка АВ бесконечно малого сечения и массы т вращается в горизонтальной плоскости хОу вокруг своей неподвижной середины О. Материальная точка М массы т скользит без трения в трубке и притягивается точкой О пропорционально расстоянию Найти движение системы.

Обозначить через mk момент инерции трубки относительно точки О, через 6 -угол хОА, через г - расстояние ОМ и через (i/nr - абсолютное значение силы притяжения точки М точкой О.

Исследовать, в частности, движение, предположив, что в начальный момент t = о

dr . d9 rro, - = 0, - = «.0.

В каком случае траектория будет окружностью с центром в точке 07 (Лиценциатская, Париж).

Результаты. 1 . Сумма моментов количеств движения относительно точки О постоянна. Следовательно,

dt dt 2°. По теореме кинетической энергии имеем:

-(1)+"й)+(Г-«--

где ft - произвольная постоянная. Таким образом, получаем гиб. исключая , определим t через г при помощи квадратуры.

Результаты:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037