Главная Промышленная автоматика.

равен нулю, становится положительным, то его производная х" положительна, а если он станэвится отрицательным, то х" отрицательна. После этого видно, какое предположение не приводит к противоречиям. На этом предположении и нужно остановиться. Например, если угол Вц очень близок

к > а очень мало, то х остается равным нулю, если было равно

нулю хо- В самом деле, предположим, что х > 0; тогда х" должен быть положительным. Но так как Ry < О, то необходимо принять е = - 1 и из третьей формулы (8) находим х" < 0. Получается, следовательно, противоречие. Точно так же, полагая х < О, получим, что х" должен стать отрицательным. Но так как Ry < О, то нужно принять е = -- 1 и из третьей формулы (8) находим х" > 0. Снова получается противоречие. Остается, таким образом, принять х = О, х = х и применить к точке М закон трения в покое. Движение будет тогда подобно движению маятника.

Недостаток места не позволяет нам войти в большие подробности. Мы отсылаем читателя за полным анализом к «Lecons> Пенлёве. В результате этих теоретических исследований эксперименты по трению были предприняты Шома (С h а u m а t, Comptes rendus, Х" semestre, 1903).

Различные авторы *) пытались устранить эти противоречия, допуская, что связи имеют зазор и принимая в расчет упругость. Но когда / достаточно велико, движения, полученные при разных начальных условиях, могут как раз зависеть от предположений, сделанных о характере связей, и от зазора, которым они обладают, в то время как при / достаточно малом этой трудности не возникнет.

IV. Трение качения

376. Общие положения. В предыдущем разделе мы пренебрегали трением качения и верчения. Мы рассмотрим теперь несколько примеров, в которых мы примем в расчет трение качения, оставляя в стороне трение верчения.

Напомним вкратце определение трения качения, данное в первом томе (п. 196). Рассмотрим прямой цилиндр с круглым основанием, который может катиться по горизонтальной плоскости. Если принять во внимание трение качения, то надо допустить, что реакция плоскости состоит:

1° из нормальной реакции N, приложенной в геометрической точке касания т\

2° из касательной реакции F, противодействующей скольжению;

3° из пары с вектором-моментом Н, параллельным образующим цилиндра, которая противодействует качению.

Нужно различать три случая:

Равновесие. Если имеет место равновесие, то

F<fN, Я < т,

*) См. Lecornu, Comptes rendus, т. CXL, 1905, стр. 635 и de Spar re, т. CXLI, 1905, стр. 310; далее Zeitschrift fUr Mathematik und Physilc, т. 58, 1910, различные статьи Ф. Клейна (F. Klein), Мизеса (Mises), Гамеля (Georg Hamel), Прандтля (Prandtl),Пфейффера (Pfeiffer). См. также В eg h in, Nouvelles Annales, 1923, стр. 305; 1924, стр. 343 [почти все эти статьи даны в дополнении к русскому переводу «Лекции» Пенлёве, см. сноску на стр. 107. {Прим. перев.)]



где /-коэффициент трения скольжения, а S - линейный коэффициент, называемый коэрфицаентом трения качения. Этот коэффициент является постоянной, зависящей от радиуса цилиндра и от природы соприкасающихся тел.

Качение. Если имеется качение без скольжения, то

FfN, н=т.

Скольжение. Если имеет место скольжение без вращения, то

FfN.

Естественно, что в этом случае нужно принять

Я<Л/8.

Но так как пара Н создает сопротивление очень малое по сравнению с трением скольжения, то можно ею пренебречь и принять Н=0. Скольжение и вращение. Тогда имеем:

F=fN. Я=::Л5.

Парой Н обычно пренебрегают.

377. Качение. Рассмотрим более подробно случай качения. Тогда момент Н пары равен Nb. Эту пару можно сложить с нормальной реакцией Л, приложенной в геометрической точке касания т. Результирующая силы и пары Н есть сила N, равная и параллельная силе N и перенесенная вперед от N на расстояние 8 (рис. 218). Следовательно, можно также принять в расчет трение качения во время качения, допуская, что нормальная реакция плоскости вместо того, чтобы быть приложенной в точке геометрического касания т, приложена впереди этой

точки на некотором расстоянии 8 от нормали в точке т\ Касательная реакция всегда является силой F, которая меньще, чем fN. В состоянии покоя всегда будет Н < Л8, и тогда нормальная реакция будет перенесена вперед на расстояние s, меньшее, чем 8.

Именно в этой форме мы будем вводить трение качения в нижеследующих приложениях.

378. Пример I. Качение однородного тяжелого круглого цилиндра по горизонтальной плоскости (рис. 219). Допустим сначала, что цилиндр неподвижен и найдем горизонтальную силу Ф, которую нужно приложить к цилиндру параллельно плоскости и перпендикулярно его образующим, чтобы заставить его катиться.




Обозначим через h расстояние силы Ф от плоскости, а через Р вес цилиндра. Определим сначала силу Ф таким образом, чтобы было равновесие. При таком предположении силами, приложенными к цилиндру, будут сила Ф, вес Р и нормальная реакция N, перенесенная вперед в т на расстояние е от нормали, меньшее чем 8, и, наконец, касательная реакция F, меньшая чем fN.

Напишем, что суммы проекции всех этих сил на вертикаль и на горизонталь равны нулю:

NP, Г=Ф.

Напишем, что сумма их моментов относительно точки геометрического касания т равна нулю. Так как моменты сил F л Р равны нулю, то получи.м

h - Nt= 0.

Напишем, что F < fN, е < 8; получим

Ф <Pf, Ф <

РЬ h

Если эти оба условия выполняются, то будет равновесие.

Но если хотя бы одно из них не будет выполнено, то равновесия не будет. Случаи, когда то или другое из этих неравенств не удовлетворяется, могут быть разные.

Допустим сначала, что

f>j, h>j. Тогда силе Ф можно придать такое значение, что

Р/>Ф>5.

Равновесие нарушено; имеет место качение, так как сила Ф меньше того значения силы трения скольжения fP, какое она имеет в начале движения,

и поэтому скольжение не может начаться.

Допустим, наоборот, что 5 8

Тогда можно взять

>Ф>Я/.

В этом случае произойдет скольжение. Для примера предположим, что

h>, Pf>>f.


Рис. 219.

Цилиндр будет катиться, и к моменту t он приобретет некоторую скорость. Найдем, какое значение нужно придать, начиная с этого момента, горизонтальной силе Ф, приложенной на высоте h, чтобы движение качения оставалось после этого равномерным}

Для этого необходимо и достаточно, чтобы силы, приложенные к цилиндру, находились во время качения в равновесии. Действительно, так как





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036