Главная Промышленная автоматика.

Рассмотрим, например, тяжелое тело, положенное на шероховатую плоскость, наклоненную к горизонту под углом, меньшим угла трения. Если на это тело оказывать давление с силой, направленной вертикально вниз, то оно не будет двигаться, как бы велика ни была эта сила.

375, О трудностях, возникающих при приложении обычно принимаемых эмпирических законов трения. Исследования Пенлёве. В двух первых примерах, которые мы рассмотрели (пп. 370 и 371), нормальная составляющая реакции обоих соприкасающихся тел, выраженная в функции переменных, определяющих положения и скорости точек системы, имеет такое же выражение, как если бы трение отсутствовало. Другими словами, это выражение не зависит от коэффициента /. Задачи, в которых такое явление имеет место, должны рассматриваться как наиболее частные и вместе с тем наиболее простые.

В более общих случаях, наоборот, выражения нормальных реакций в функции переменных, определяющих скорости и положения точек системы, зависят от коэффициента трения /. В этих случаях как при трении во время движения, так и при трении в начале движения могут представиться некоторые особые обстоятельства, которые приводят или к неопределенностям, или к невозможности задачи. Эти особые обстоятельства были впервые указаны Пенлёве в его Lefon sur le frottement (Hermann, 1895) и в заметке, представленной Академии наук (Comptes rendus, т. СХХ1, 1895, стр. 112). Не следует думать, что только в исключительных случаях могут оказаться возможными такие трудности. Наоборот, они возникают в наиболее общих случаях, по крайней мере при достаточно больших значениях эмпи-шческого коэффициента трения /. 1оэтому необходимы новые эксперименты для нахождения законов трения, не приводящих более к этим затруднениям. Мы не можем здесь входить в подробности изысканий Пенлёве. Мы удовлетворимся, показав лишь на одно.м из многих приведенных в Lefons sur le frottement примеров, каковы те трудности, которые могут представиться при применении обычных законов трения. Другие примеры можно найти в интересной статье Майера (Mayer) Zur Theorie der gleitenden Reibung (Berichte der K6nigl. Sachsischen Oesellsciiaft der Wissenscfiaften zu Leipzig, 3 jufn 1901).

Рассмотрим две материальные точки Мк М, массы 1, связанные невесомым твердым стержнем ММ, длины г. Точка М скользит с трением

по неподвижной горизонтальной прямой Ох, с которой она не может сойти, и система ММ, движется в вертикальной плоскости хОу, проходящей через Ох. Найти движение, предполагая, что система находится под действием только силы тяжести (Пенлеве, Lefons, стр. 98).

Обозначим через 8 угол хММ, (рис. 217), через х - абсциссу точки М и через X,, у, - координаты точки М,.

1 \

Рис. 217.



Внешними силами, действующими на систему ММ, являются полный вес 2g, приложенный в центре тяжести G, находящемся на середине отрезка ММу, и реакция R оси Ох, составляющие которой по осям Ох и Оу мы обозначим через Я. и Ry.

Уравнения движения центра тяжести, если обозначить штрихами производные по времени, получаются непосредственно в виде

x"+x" = R, y; = Ry + 2g. (1)

По теореме моментов для движения относительно осей Gxy, проходящих через точку G, получаем:

= (R cos 9 - R sin 9), (2)

так как момент инерции относительно центра тяжести G равен -у, а координаты точки М в системе Gxy равны -- cos 9 и - sin 9. Из геометрических связей непосредственно получаем: д?! = ж + г cos 9, yj = г sin 9

и, подставляя в уравнения (1), находим:

2х" - г sin 9 9" - г cos 9 9 = R,

г cos 9 6" - г sin 6 92 =2g+Ry.

Внося значения R и Ry, выводимые из этих уравнений, в уравнение (2), получаем:

х" sin 6 - гв" -4- g cos 9 = 0. (4)

Применим теперь эмпирические законы трения. Полную реакцию оси Ох в точке М мы обозначим опять через R. Абсолютное значение нормальной составляющей есть абсолютное значение величины Ry, касательная составляющая по абсолютному значению равна абсолютному значению величины Rr Касательная составляющая имеет знак, противоположный знаку скорости точки М, и равна абсолютному значению fRy, где /- коэффициент трения. Имеем, следовательно, в зависимости от обстоятельств

R.= ±fRy.

Мы напишем

Rx = - fRy. (5)

где е = ± 1. Рассматривая последовательно различные возможные случаи, мы увидим, что нужно брать следующие знаки:

если Ry > Q, х > О, то нужно брать RkQ, е > 0;

если Ry >0, х < О, то нужно брать P, > О, е < 0;

если Ry <Q, х > О, то нужно брать Rp, < О, е < 0;

если Ry < О, ж < О, то нужно брать R > О, е > 0.

Резюмируя сказанное, нужно выбирать е таким образом, чтобы

txRy > О (е = + 1). (6)

Заменим теперь в равенстве (3) R. его выражением - fRy и разрешим уравнения (3) и (4) относительно трех величин Ry, х" и 9". Полагая

Z)=l-f cos2 9 + £/sin9cose, (7)



получим:

/)Ру = -(гв sin 6 +2Д Drb" = (гб sin 8 + 2g) (cos 6 + e/sin 8), Dx" = г8 (cos 8 + e/sin 6) -f g [cos 6 sin 8 + e/(1 + sin 8)]. J

Установив это, покажем сначала, что трудности, на которые указал Пенлёве, представятся при достаточно большом /.

Поместим систему в начальное положение, получающееся, если координате X придать произвольное значение х, а углу 8 - произвольное значение 8,, заключенное между О и -2". Далее сообщим системе скорости, характеризуемые значениями х и 8 производных х и б. Наконец, допустим, что / настолько велико, что

1 + C0S2 6о - / sin 6о COS 8о < 0. (9)

Мы сейчас увидим, что если х положительно, то невозможно удовлетворить соотношению (6) подходящим выбором Е, а если дг отрицателен, то подходят оба значения е = ± 1. В первом случае невозможно никакое движение, а во втором случае возможны два различных движения.

В самом деле, если х, > О и если принять е = --1, то, как мы видим, начальное значение D будет положительным и из первого соотношения (8) получается, что начальное значение Ry отрицательно. Следовательно, произведение е.хRy будет отрицательным и соотношение (6) не будет выполняться. Если по-прежнему положить х, > О и принять е = --1, то мы увидим на основании неравенства (9), что начальное значение D отрицательно и на основании первого соотношения (8), что начальное значение Ry положительно. Следовательно, произведение гхRy будет по-прежнему отрицательным и условие (6) не будет выполняться.

Формулы показывают, что при х>4 никакое движение несовместимо с эмпирическими законами трения.

Если, наоборот, предположить, что х < О, то таким же образом увидим, что оба предположения, s = -4-l и с = - 1, одинаково допустимы: формульь не позволяют сделать выбор между двумя соответствующими движениями.

Эти трудности исчезают, если / достаточно мало. Например, если в рассматриваемой задаче /< 1, то величина D будет положительной, каков бы

ни был знак е. Тогда если сохранить те же начальные условия, О < 8 < -, то первое соотношение (8) показывает, что проекция Ry отрицательна. Следовательно, если Xq > О, то необходимо принять е = - 1, и если х < О, то нужно взять е = -f- 1. В обоих случаях формулы определяют единственное движение, начиная с начального момента, и это движение может быть найдено для произвольного промежутка времени интегрированием уравнений (8).

Если Xq = О, то возникает предварительная задача: нужно узнать, будет ли точка М оставаться неподвижной, т. е. будет ли х оставаться равным нулю, или х, будучи равен нулю при t = tQ, уже не будет равен нулю в последующие моменты. Чтобы разрешить этот вопрос, нужно, как мы это излагали в общем виде в п. 369, сделать последовательно два следующих предположения: Г предположить, что л:= О, т. е. что точка Ж неподвижна, и составить уравнения задачи, прилагая законы трения в покое; 2° предположить, что х отлично от нуля, и применить формулы (8), замечая, что если х, будучи





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004