Главная Промышленная автоматика.

Если Яд меньше, чем

(Л. COS «о

то а будет вначале уменьшаться.

В этом случае может оказаться, что при некотором значении ос величина а обратится в нуль. Тогда лестница в соответствующем положении остановится, так как она в любом положении находится в равновесии.

Можно также исследовать случай, когда коэффициент трения / имеет произвольное значение.

372. Трение цапф в подшипниках. ДЛя того чтобы заставить тело вращаться вокруг оси, с ним связывают Два одинаковых круглых прямых цилиндра Ti и Гз (рис. 215), размещенных так, что один является продолжением другого. Это - цапфы. Цапфы опираются на две поверхности, имеющие форму круговых цилиндров с общей осью, параллельной оси цапф. Эти s поверхности называются подшипниками. \ I На рис. 216 изображено прямое сечение лежащей в подшипнике Ci цапфы Тх с преувеличенной разностью радиусов.


Рис. 215

Допустим, что снабженное цапфами и приведенное в движение твердое тело имеет центр тяжести на оси цапф и находится под действием сил, приводящихся к паре с моментом Н, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси цапфы, и к одной силе Р постоянного направления, перпендикулярного к оси. Можно всегда предполагать, что эта сила пересекает ось, изменив подходящим образом пару Н. На чертеже ось предположена горизонтальной, а сила Р вертикальной. Посмотрим, что происходит на одном из концов. Цапфа, вращаясь в направлении стрелки В, трется о дно подшипника. Сначала цапфа по нему катится и ее центр останавливается в положении Ох< причем точка касания находится в точке Ах- После этого цапфа вращается вокруг своей оси Ох и трется о подшипник в точке Ау. Следовательно, реакция подшипника будет состоять из нормальной реакции Nx, пересекающей ось, и касательной силы fNx- Обозначим через tp угол, образованный реакцией Nx с направлением Р. На втором конце будет происходить то же самое: силами, приложенными к цапфе, будут N, и fN,; угол <f будет такой же, так как подшипники удерживают ось в горизонтальном положении. Тело будет тогда вращаться вокруг неподвижной оси, а именно, оси цапфы. Его центр тяжести будет неподвижным, и поэтому сумма проекций внешних сил на любое направление будет равна нулю. Спроектируем силы последовательно на направление Р и на направление, перпендикулярное к Р и к оси, замечая, что пара Н проекций не имеет:

P - {Nx + No) cos f-f(Nx + No) Sin <f = 0,

{Nx + N2) sin -f{Nx + NoJ cos == 0.



или окончательно

Mk"-- = H-pPsin<f.

При составлении этого уравнения надо было иметь в виду, что сумм1 моментов обеих сил, составляющих пару, относительно оси в точности равна моменту Я, так как, по предположению, пара перпендикулярна к оси.

373. Регулятор с лопатками. Рассмотрим ворот массы М и радиуса R, вращающийся вокруг горизонтальной оси при помощи двух цапф радиуса р. На ворот навернута веревка, массой которой пренебрегаем и которая свешивается вертикально, так как к ее концу привязан груз массы т. На поверхности ворота смонтированы одинаковые плоские лопатки, плоскости которых проходят через ось ворота. Эти лопатки попарно диаметрально противоположны, так что общее их число п четно. Когда ворот вращается, лопатки ударяют о воздух. Вследствие этого на каждой лопатке возникает нормальное давление, направленное в сторону, противоположную вращению. Так как все лопатки одинаковы и попарно диаметрально противоположны, то все эти давления равны, попарно прямо противоположны и приводятся к одной паре, вектор момента которой параллелен оси ворота. Вычислим сумму моментов этих давлений относительно оси. Допускается, что давление р воздуха на элемент поверхности rfu пропорционально площади этого элемента и квадрату его скорости. Если через г обозначить расстояние от элемента лопатки до оси, а через ш - угловую скорость ворота, то получим

р = har"- da.

Момент этого элементарного давления относительно оси

рг = hafir da, а результирующий момент для одной лопатки будет

где fj. - некоторая постоянная. Результирующий момент всех лопаток равен л-кратному значению этой величины.

На ворот действуют его вес Mg, приложенный на оси, натяжение Т веревки, несущей груз, давления на лопатки и, наконец, касательные и нормальные реакции подшипников на цапфы. Мы можем перенести на ось силу Т параллельно самой себе, оставляя ее в плоскости, нормальной к оси, присоединив при этом пару с моментом TR, возникающую от этого переноса. Эта пара увеличивает угловую скорость ш. В результате имеем вертикальную силу

P=T-\-Mg,

приложенную к оси, пару с моментом

Н= TR - nic-i

и реакции подшипников.

Из второго уравнения находим tg <f = /. Следовательно, <р равен углу трения. После этого, за.меняя в первом уравнении / через tg <р, получим:

+ N2 = Р cos f.

Чтобы получить теперь уравнение движения, применим теорему моментов относительно оси цапфы. Обозначив через Mk момент инерции относительно этой оси, через ш-угловую скорость и через р - радиус ОуЛ, цапфы, получи.м



= X (а - со2),

X ./ 01 - 0)2

неограниченно возрастает. Следовательно, угловая скорость будет возрастать и стремиться к Y рассуждения такие же, как и при падении тяжелого тела в сопротивляющейся среде (п. 213)].

2°. а 0. Полагая по-прежнему, что начальное значение to равно нулю,

получим -77- < 0. Следовательно, согласно уравнению ворот стремится вра-

щаться в сторону, противоположную той, в которую его тянет вес mg. Это - абсурд. В этом случае вес mg недостаточен чтобы преодолеть трение в начале движения, и ворот остается в равновесии. Уравнения, полученные в предположении движения, неприменимы. Полное исследование случая, когда (Од > О, аналогично исследованию восходящего движения груза в сопротивляющейся среде.

Случай а<0 не может иметь места, когда отсутствует трение. Действительно, если f = О, то а положительно.

374- Самоторможение. Может случиться, что трение совершенно препятствует некоторым движениям, которые при отсутствии трения геометрически возможны. В этом случае говорят, что имеется самоторможение. Такой случай можно определить по уравнениям как результат того, что равновесие продолжает сохраняться при сколь угодно больших значениях движущих сил.

На основании формулы предыдущего пункта, обозначив через tp угол трения в подщипниках, получаем уравнение движения

Mk = Г/? - п;ла>2 - р (Г + Mg) sin <р.

С другой стороны, скорость груза т, подвешенного к веревке, равна Ru> и уравнение движения этого тела, подверженного действию его веса и натяжения Г, будет:

mR-T+mg.

Исключая из этих двух уравнений 7", получаем уравнение движения в форме

IF где

X = -г,--=5--, a = [mR - fiM-lrm) sin tp]

Mk + mRi - mRp sin tp П(х r \ i / n

- постоянные.

Первая постоянная X существенно положительна, так как р < R. Вторая постоянная а может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Г. а > 0. Допустим, что ворот предоставлен самому себе без начальной

скорости. Тогда производная ~ будет вначале положительной и угловая

скорость ю будет постоянно возрастать до тех пор, пока она не станет равной Y а. Когда ю стремится к Y, тогда





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037