Главная Промышленная автоматика.

Вторая фаза. В момент t = Т точка колеса, находящаяся в соприкосновении в В, имеет скорость, равную нулю. Теперь нужно узнать, будет ли последующее движение скольжением или качением. Можно предвидеть, что оно будет качением, т. е. что скорость и точки касания останется равной нулю. В самом деле, если она примет значение, отличное от нуля, то как бы это значение ни было мало, система будет вновь находиться в условиях, аналогичных начальным условиям, и сила трения скольжения fN снова приведет скорость и к нулю. Следовательно, начиная с момента Т будет происходить качение.

Если пренебречь трением качения, то касательная реакция F горизонтальной плоскости будет тогда следовать закону трения скольжения в состоянии покоя, т. е. будет неизвестной силой, меньшей чем fN. Мы проверим это свойство, показав, что F = 0. Так как имеет место качение, то работы сил F, N н веса будут, очевидно, равны нулю и движение качения будет равномерным. Имеем:

df df

и уравнение движения центра тяжести М = - F показывает, что F = 0.

dx db

Следовательно, в этой второй фазе движения и остаются постоянными, начиная с момента времени Т и равными значениям V и Q, которыми они в этот момент обладают и которые легко вычисляются из предыдущих формул. Наконец, и остается все время равным нулю, так что

V+RQ = 0.

Мы указали сейчас способ вычисления конечного значения скорости центра как функции начальных данных. Можно заранее найти эту скорость, если воспользоваться следующим приемом.

Исключая / из уравнений (2) и (3), получаем

dx fe3 rfae

df R df

откуда, интегрируя, получаем

dx db /fe2 -dt~-R-dt=--R""-

Величина (7) остается, следовательно, постоянной в течение первой и второй фазы движения, так как уравнение (7), полученное исключением /, будет иметь место, каков бы ни был закон касательной реакции. В конечной фазе

dt dt R Следовательно, подставляя эти значения в равенство (7), получим:

( + )-о-"о. (8)

где «о равно -- Ruy. Эта скорость и уменьшается пропорционально времени t и обращается в нуль по истечении времени




О t Найти движение, допуская, что имеется

р . трение на стене и на полу и что коэф-

vviz. zii. фициент трения равен на обоих концах

единице (/=1).

Заметим прежде всего, что так как коэффициент трения равен 1, то лестница в любом положении будет в равновесии. В самом деле, центр тяжести G находится на середине лестницы АВ (рис. 214). Если в точках А и В провести две прямые, образующие с нормалями к стенке и полу углы по 45° (угол трения в рассматриваемом случае), то точка пересечения этих прямых будет всегда находиться слева от вертикали, проходящей через точку G, и вследствие этого при любом наклоне лестницы будет существовать равновесие (п. 193). Заметим еще раз, что в рассматриваемом случае точка G есть середина отрезка АВ.

После того как лестнице сообщен толчок, на нее будут действовать следующие силы: вес mg, приложенный в точке G, нормальная реакция N пола в точке А и сила трения в той же точке А, направленная от А к О и равная N, так как /= 1, наконец, нормальная реакция N стены в точке В и сила трения N в той же точке В, направленная по ОВ. Обозначим через а угол между лестницей и стеной, через 21 - длину лестницы и через mk- ее момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке G. Уравнения движения центра тяжести -ц) имеют вид

""S- m=--mg+N + N. (1)

Применим теперь теорему моментов к относительному движению вокруг центра тяжести G. Это относительное движение является вращением с угло-

откуда находим v. Например, если при г/д положитель>!ом мы будем иметь

Vq-- ™о < 0. то конечное движение при качении будет таким, что v < 0;

оно будет происходить в сторону, противоположною начальному движению центра С.

Это легко осуществить, бросив колесо вперед (vq > 0) после того, как ему было сообщено сильное вращательное движение («о > У" • Тогда колесо сначала удалится, а потом прикатится обратно.

Уравнение (7) обозначает, что в течение всей продолжительности движения материальная точка колеса, находящаяся в каждый момент над цент-fp

ром на расстоянии -jj- от него, имеет постоянную абсолютную скорость. Если

колесо является настолько тонким, что его можно отождествить с материальной окружностью, то k = R, к точкой, скорость которой постоянна, является материальная точка, проходящая через наивысшую точку А.

Пример П1. Лестница АВ (рис. 214) массы т опирается на горизонтальный пол Ох и на вертикальную стену Оу. Средняя линия лестницы предполагается расположенной в плоскости, перпендикулярной к стене и полу, которую мы примем за плоскость чертежа. Лестнице сообщена начальная скорость, причем так, что точка В приближается к точке О.



ВОЙ скоростью вокруг оси, проведенной через G перпендикулярно к плоскости чертежа. Следовательно, имеем:

тз = UN - N) sin a - l{N+N) cos a,

как это видно из непосредственного геометрического вычисления моментов сил относительно точки О. Из уравнений (1) определяем N - N л N -\-N и вносим эти величины в уравнение (2). Получаем:

da I df\ d-l \

r=-«°»-4-d?r COSa + Slnaj.

S = / sin a, it) = / COS a,

dfi di\ df

= -4-) Sina + /COSa,

COSa-

ISin a.

Подставляя производные (4) в равенство (3), получим окончательно уравнение движения

Это уравнение аналогично уравнений движения математического маятника, подверженного сопротивлению среды, пропорциональному квадрату скорости (п. 249).

Для интегрирования положим

rfa , rf2a da da da 1 da ii A Л

dt df dt da dt 2 rfa • fts - 2 ft2 - 2 • Тогда уравнение примет вид линейного уравнения относительно а:

- - Ха - ft COS а.

Общий интеграл этого уравнения

а2 = СеХ. 1

(sin а - X COS о).

Если дана начальная угловая скорость п, соответствующая значению

о = ао, ТО

1 + :

- (sin «о - X COS ад)

Формулы (1) позволяют вычислить N и N в функции а и а и, следовательно, в функции толБКо а. Предыдущие вычисления справедливы лишь до тех пор, пока N н N положительны. Если одна из этих реакций обращается в нуль, становясь потом отрицательной, то соответствующий конец честницы освобождается и уравнения движеняя должны быть изменены.

„ / , ., /" (а COS Оо da

Если Oq больше, чем у ---ii-r то производная -- согласно равенству (6) будет вначале положительна, а будет постоянно возрастать и лест» ница будет скользить с возрастающейскоростью.

8 Зак, 922. П. Аппель, т. И





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0043