Главная Промышленная автоматика.

скольжения будет происходить до тех пор, пока из уравнений, предполагаемых проинтегрированными, будут получаться для значения, отличные от нуля. Если в некоторый момент выражение обратится в нуль, то возникнет вопрос о том, будет ли скорость V. начиная с этого момента, оставаться равной нулю или нет. Тогда перед нами опять возникнет задача, решение которой мы только что указали.

2. Если тело А касается тела В острием т. и если в некоторый момент to относительная скорость 1/ этой точки по отношению к телу В равна нулю, то возникнет вопрос о том, будет ли скорость в момент > 0 оставаться равной нулю или будет отличной от нуля, т. е. будет ли точка т оставаться по отношению к телу В неподвижной или нет. Для этого поступаем как в предыдущем общем случае: последовательно делаем оба предположения и выясняем, на каком из них нужно остановиться.

3°. Рассмотрим еще один вид разрывности в уравнениях, который важно отметить. Вне зависимости от того, имеет ли место скольжение или качение, может случиться, что алгебраическое значение реакции N, вначале положительное, обращается в некоторый момент t в нуль, а зятем становится отрицательным. Тогда, если тела могут отделиться друг от друга, то в момент t они отделятся. Если тела не могут отделиться друг от друга, то нормальная реакция изменит знак. Так как сила трения существенно положительна, то вследствие того, что реакция N отрицательна, силу трения нужно будет в случае скольжения принять равной - fN, а в случае качения принять меньшей, чем - fN.

Следовательно, начиная с момента t, необходимо будет изменить уравнения движения, заменив / коэффициентом -/. Если не соблюсти эту предосторожность, то, начиная с момента t, уравнения будут представлять движение, в котором касательное воздействие В на А стремится увеличить относительную скорость точки т тела А по отношению к телу В, что абсурдно.

370. Примгр I. Однородный круглый тяжелый диск, находящийся в вертикальной плоскости (рис. 207), поставлен на неподвижную прямую Ох, наклоненную к горизонту под углом а, и предоставлен самому себе без начальной скорости. Предполагается, что имеется трение и спращивается, будет ли диск катиться или скользить.

Допустим, что имеется качение. Тогда нужно будет разрешить вторую задачу п. 366, где, как мы видели, нормальная реакция прямой на диск оказалась равной N = Mg cos а, а касательная реакция была равна Mg sin а.

Для того чтобы качение было возможно, необходимо, чтобы эта касательная реакция была меньше, чем fN, т. е. чтобы

Mg sin а ... , „f

--<fMg COS a, tg a < 3/,

где /-коэффициент трения. Если это условие не выполняется, то качение без скольжения невозможно; диск будет скользить, одновременно вращаясь.



Исследуем задачу при этом новом предположении. Теперь реакция прямой на диск имеет нормальную составляющую Л и касательную составляющую F - fN, направленную вдоль АО. Угол АСВ = О и абсцисса ОА = х центра тяжести (рис. 207) не связаны больше никаким геометрическим соотношением, так как движение не является чистым качением. Уравнения движения центра тяжести имеют вид

(fix

М - Mg sin а - fN, О = - Mg cos а-\- N.

Следовательно, нормальная реакция постоянна. Подставляя ее значение N = Mg cos а в первое уравнение, получим:

= i§(sm а-/cos а).

Правая часть имеет значение постоянное и положительное в силу предположения, что tg о( > 3/. Так как по условию диск вначале находится в покое, то

x = (sin а - /cos о).

Применим теперь теорему моментов к относительному движению вокруг центра тяжести. Мы имеем:

Mk"-=fNR.

Так как к" = и диск вначале покоится, то отсюда получаем:

„ fgf cos а R

Для проверки обозначим через а скорость точки диска, находящейся в А. Эта скорость является результирующей скорости от вращения вокруг центра тяжести и скорости поступательного движения вместе с ним:

dx „de "-dt-di-

На основании предыдущих уравнений находим:

и = gt (sin а - 3/cos а).

Эта скорость в силу условия tga > 3/ положительна и никогда не обращается в нуль. Скольжение будет происходить все время.

Если нет трения, то диск, предоставленный самому себе, будет скользить без качения.

371. Пример П. Движение с трением вертикального колеса по горизонтальной прямой. Рассмотрим однородное колесо радиуса R и массы М, поставленное вертикально на горизонтальную плоскость и начинающее катиться в вертикальной плоскости. Из соображений симметрии очевидно, что колесо останется в начальной вертикальной плоскости, которую мы примем за плоскость чертежа хОу. Пусть (рис. 213)

С - центр колеса,

В - точка, в которой колесо касается горизонтальной плоскости Ох, x - абсцисса ОВ центра С,

8 - угол, на который колесо повернуто в положительном направлеиии от оси Ох к оси Оу, отсчитывае.мый от начального положения.



Первая фаза. Центр С имеет горизонтальную скорость v. алгебраическое значение которой равно В то же время колесо вращается вокруг

своего центра с угловой скоростью " = - Точка колеса, находящаяся в В,

имеет скорость и, которая является результирующей скорости v перемещение

ния центра и скорости R вращения вокруг центра:

dx , „rf9


Рис. 213.

Допустим для определенности, что в момент = О абсцисса х равна пулю, а скорость и положительна. Тогда наиболее низкая точка колеса

скользит по Ох в положи- тельном направлении и сила

трения будет, следовательно, направлена в противоположную сторону. Силы, приложенные к твердому телу, суть вес Mg, нормальная реакция N грунта и сила трения fN.

Теорема движения центра тяжести в проекции на ось Оу выражается здесь уравнением

Q = N-Mg,

так как координата у точки С постоянна. Имеем, следовательно, N = Mg. Теорема движения центра тяжести в проекции на ось Ох выражается уравнением

ё = -А.

Наконец, если обозначить через Mk момент инерции колеса относительно оси, проведенной через С перпендикулярно к его плоскости, то по теореме момента количества движения, примененной к движению относительно центра тяжести, имеем:

так как момент силы трения относительно точки С равен -fNR.

На основании этих формул центр С совершает прямолинейное равно-замедленное движение. Действительно, из уравнения (2) имеем:

dx dt

= -fgt-Vo,

Vat,

где Vo - начальное значение скорости v. Угловая скорость уменьшается также пропорционально времени:

где «о - начальное значение угловой скорости. Выражение (1) для и будет теперь такое:

u-fg(\-\-)tUo, (6)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0055