Главная Промышленная автоматика.

Теперь, зная натяжение Т, мы найдем реакцию точки О, написав, что эта точка, рассматриваемая как центр тяжести стержня АВ, остается неподвижной. Тогда получится, что реакция Q должна находиться в равновесии с равнодействующей Mg веса и с направленной вдоль 00 суммой обоих натяжений, приложенных в точках А к В.

III. Трение скольжения и сопротивление среды

367. Общие соображения. В первом томе (гл. IX) мы указывали на условия, которые имеют место, когда два тела Л и В, соприкасающихся в одной точке, находятся одно по отнощению к другому п относительном покое или в относительном движении. Мы видели, что силы взаимодействия обоих тел будут следующие. Пусть в теле А материальной точкой, в которой его касается тело В, является точка т. Силами действия тела В на тело А являются (рис. 211):

1°. Сила Л, приложенная к телу А в точке т и направленная нормально к соприкасающимся поверхностям; эта сила есть нормальная реакция, препятствующая телу Л проникать в тело В.

2°. Сила F, приложенная в той же точке т и расположенная в общей касательной плоскости к соприкасающимся в точке т поверхностям; эта сила есть трение скольжения, препятствующее скольжению.

3°. Пара с вектором-моментом G, нормальным к соприкасающимся поверхностям; эта пара есть пара трения верчения, препятствующая верчению.

4°. Пара с вектором-моментом Н, лежащим в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей; эта пара есть пара трения качения, препятствующая качению.

Действия тела А на тело В выражаются силами и парами, соответственно равными и противоположными предыдущим. В общем случае пары G н Н влияют на движение значительно меньще, чем силы N н F. Мы начнем с рассмотрения случаев, когда этими парами можно пренебречь, оставляя до следующего параграфа специальное исследование трения качения и верчения.

Мы предположили, что оба тела А и В соприкасаются по очень маленькой площадке, которую можно рассматривать как точку.

В некоторых случаях оба тела могут иметь бесчисленное множество геометрических точек касания. Это, например, будет иметь место для цилиндра, поставленного на плоскость. В таких случаях нужно будет применить предыдущие рассуждения ко всем геометрическим точкам касания.


Рис. 211.



Примечание. Не следует думать, что трение является силой, только препятствующей движению, а не способствующей ему. Действительно, трение может, например, служить для переноса части движения с тела А на тело В. Так, если ремень, находящийся в быстром движении, соприкоснется с первоначально покоившимся шкивом, то он будет сначала скользить по нему и лишь постепенно будет сообщат ему движение. Сила, которая действует здесь как увлекающая, стремящаяся сообщить точкам окружности шкива, имеющим нулевые скорости, скорость рем:1я, есть трение. Оно оказывает сопротивление движению ремня, но в то же время ускоряет

вращение шкива (см. Re и lea их, Cinematique, Notes, стр. 633).

368. Трение скольжения. В первом томе мы указали на обычно принимаемые эмпирические законы трения скольжения в состоянии покоя и в состоянии движения и те ограничения, которые следует в них внести на основании опытов Гирна (Hirn).

Вообразим тело А (рис. 212), которое движется, скользя по телу В. Пусть т. - материальная точка тела А, находящаяся в соприкосновении с В, и N - нормальная реакция тела В на тело А в этой точке. Сила трения приложена в точке т, направлена в сторону, противоположную относительной скорости этой точки по отношению к 5, и равна fN, где / - коэффициент трения. Этот закон применим пока происходит скольжение, т. е. пока относительная скорость точки т по отношению к телу В не равна нулю. Допустим, что эта скорость становится равной нулю и такой остается. Тогда может представиться несколько случаев:

1°. Тело А остается неподвижным по отношению к телу В; в этом случае реакция на Л следует закону трения в состоянии покоя.

2°. Относительным движением тела А по отношению к телу В является качение и верчение; это будет более общим случаем. Тогда не будет больше скольжения, и законы трения скольжения в состоянии движения не будут больше применимы. Допускается, что в этом случае применимы законы трения скольжения в состоянии покоя, т. е. что можно рассматривать полную реакцию тела В на тело А, как образованную из нормальной составляющей N и касательной составляющей F <ifN. В этом параграфе мы, разумеется, предполагаем, что можно пренебречь трениями качения и верчения. В противном случае необходимо было бы присоединить две пары, представляющие собой эти трения.


Рис. 212.



*) Имеется русский перевод: Пенлёве П., Лекции о трении, ГИТТЛ, М., 1954. (Прим. перев.)

3°. В исключительных случаях может оказаться, что тело А заканчивается острием т, которым оно скользит по телу В наподобие волчка, скользящего по плоскости. В этом случае тело А всегда касается тела В одной и той же точкой т, и если относительная скорость точки т. по отношению к В становится равной нулю и такой остается, то в этом случае применимы законы трения скольжения в состоянии покоя, и движение тела А относительно тела В есть движение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Мы будем в дальнейшем рассматривать коэффициент /о трения скольжения в покое, как равный коэффициенту / трения скольжения при движении, несмотря на то, что в действительности /q немного больше, чем /.

Ниже (п. 375) на примере мы покажем, что эти эмпирические законы трения скольжения являются не только грубо приближенными с точки зрения экспериментальной, но, как показал Пенлёве (Pain-leve) в своих Legons sur le frottement (Hermann, 1895)*), они могут привести к математическим противоречиям, если их строго применять к прижатым один к другому абсолютно твердым телам.

369. Возможные разрывы в уравнениях движения. Г. Пусть!/,.- относительная скорость по отношению к телу В находящейся с ним в соприкосновении материальной точки т. тела А. До тех пор, пока отлично от нуля, происходит скольжение. Если V,.= 0, то имеют место качение и верчение тела А на теле В и тела В на теле А. Допустим, что в начальный момент скорость 1/ = 0. Нужно узнать, будут ли в следующие моменты оба тела катиться

и вертеться или они будут скользить одно по другому. Чтобы ответить на этот вопрос, поступаем следующим образом. Предполагаем, что имеют место качение и верчение, т. е. что скорость остается равной нулю. Тогда реакция тела В на тело А на основании принятых нами законов будет состоять из нормальной реакции N и касательной реакции F, причем F < fN и направление силы F неопределенно. При этих условиях составляем уравнения задачи и вычисляем нормальную реакцию N и касательную реакцию F. Если найденное значение F окажется меньше, чем fN, то сделанное предположение будет правильным, а именно: движение тела А по телу В будет качением и верчением. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока сила F не сделается больше, чем fN. Начиная с этого момента, будут одновременно происходить скольжение, качение и верчение и уравнения нужно будет изменить. Если, наоборот, найденное значение F будет с самого начала больше, чем fN, то движение качения и верчения без скольжения будет невозможно. С самого начала будет происходить скольжение и нужно будет написать уравнения движения, применяя законы трения скольжения при движении. Это движение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0064