Главная Промышленная автоматика.

-fl=0. (2)

Эти три софокусные поверхности, проходящие через точку О (х, у, г), пересекаются под прямыми углами. Имеет место следующая теорема:

Три главные плоскости относительно точки О являются касательными плоскостями к трем софокусным поверхностям (1), проходящим через эту точку, и моменты инерции относительно этих трех главных плоскостей суть Ма, М, М~(, где а, 72 означают корни уравнения (2).

Доказательство вытекает из сопоставления следующих двух положений.

1°. Огибающая плоскостей, проходящих через О, относительно которых момент инерции. имеет заданное значение Mk, есть конус с вершиной в точке О, описанный около поверхности (1). Эта огибающая является действительно конусом, если поверхность (1) не про.ходит через О, т. е. если fe2 не совпадает ни с одной из величин а, 72. Но если k имеет одно из указанных значений, то поверхность (1) будет проходить через точку О и описанный конус с вершиной в О обратится в двойную плоскость, совпадающую с касательной плоскостью к этой поверхности в точке О.

2°. Найдем непосредственно огибающую тех же плоскостей, приняв О за начало, а главные оси инерции относительно точки О за оси координат ОххУхг. Пусть Хх, Ух, - координаты какой-нибудь точки системы и

Ма]=.тх1 Mfx = myl М.тг]

- моменты инерции относительно трех главных плоскостей в точке О. Момент инерции системы относительно плоскости ихх + vyi -\- wz, = О, проходящей через точку О, равен

Y ("-«1 + уух + 0 м + fx + iW)

f- 2j" иЗ + t<2 -j- ги2 и2 + г,2 -j- и,2

Если fe2 должно оставаться постоянным, то имеем:

и {.] - к) + - k) + (y? - k) = 0.

Тогда рассматриваемые плоскости огибают конус, уравнение которого имеет вид

„2 2p2 2 I 2 2

Это будет действительно уравнением конуса, если k"- отлично от каждого из значений а, gj, g например, = af, то конус обращается

в двойную плоскость х\ = О, т. е. в одну из главных плоскостей относительно точки О.

Точно так же при fe = и fe = fj получаются две другие главные плоскости относительно (У.

Но так как из предыдущего рассуждения мы установили, что тот же самый конус обращается в двойные плоскости только при fe2, равном а2 или р2, или -уЗ то необходимо, чтобы а, i\ совпадали с сР, рз, -f. Так как мы. Кроме того, нашли, что эти двойные плоскости совпадают с кдсзтельныци

Через точку О {х, у, г) пространства проходят три из указанных поверхностей. Соответствующие им значения параметра k являются корнями а2, \ уравнения третьей степени



,2 + да J А2 „2 4- ri ~ •

bici-pi + r ci-\:ai-pi+r a + m-p + r

Это - поверхность четвертого порядка, пересекаемая координатными плоскостями по коническим сечениям. Она идентична волновой поверхности Френеля (ем. С 1 е b s с h. Journal de Crelle, т. 57; Hess e, Vorlesungen fiber analytische Geometrie des Raumes; Darboux, Note a la Mecanique de Despeyrous).

323. Экспериментальное определение моментов инерции. Мы увидим ниже, как теория физического маятника позволяет экспериментально определить момент инерции. Ограничимся указанием, что Брассин (В г а s s i п е, Comptes Rendus, т XCV, стр. 446), Депрец (Marcel D е р г е z, ibid., т. LXXIII, стр. 785), Жуковский (Bulletin de IAssociation franaise pour Iavancement des Sciences, 1889, стр. 23) предложили различные приборы для такого определения. Можно вычислить моменты инерции также при помощи механических интеграторов, как это показано в научном труде о графической статике Мориса Леви (Traite de Statique graphique de M. Morice Levy).

Хаффнер (Haffner) изобрел прибор, позволяющий узнавать, будет ли заданная ось главной осью инерции для центра тяжести (см. Аппель, Machine а determiner les balourds, Journal de IEcole Polytechnique, 2-е semestre, 9-e Cahier. 1904).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислить моменты инерции однородного прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, Ь, с относительно прямых, проходящих через цент и параллельных ребрам.

Ответ:

м± М± М± м J2 12 12 *

2. Рассматривается объем, заключенный между двумя цилиндрами вращения вокруг общей оси, имеющими радиусы R \i R а одинаковую высоту h. Предполагая этот объем однородным, вычислить его моменты инерции

ПЛОСКОСТЯМИ к трем софокусным поверхностям, проходящим через О, то необходимо, чтобы эти касательные плоскости совпадали с главными плоскостями инерции относительно О, т. е. с = О, у, =0, =0. Таким образом, теорема доказана.

322. Геометрическое место точек О, для которых момент инерции относительно одной из главных осей в точке О имеет заданное значение Mpi. Допустим, что момент инерции относительно главной оси Ог имеет значение Мр\ Тогда

Ма."- -f Af?3 = Mpi.

Но «2, рз суть корни уравнения (2); освободившись в нем от знаменателей, мы получим для суммы корней

+ + f = х + у" -f г -f «2 -Ь 62 + с2.

Отсюда, так как

х-\.у + г = г, a2-fp2=p2,

найдем:

Y3=r« + a2-f 62 + с2 ;,3

Выражая, что 72 является корнем уравнения (2), получим уравнение геометрического места

..2 ..2 .,2



\ 4 12/-

3. Для изображения изменения моментов инерции относительно осей, параллельных АВ, можно откладывать на каждой такой оси от точки А, в которой она пересекает фиксированную, перпендикулярную к осям плоскость. Отрезок А/, равный соответствующему моменту инерции. Найти геометрическое место точек / (параболоид вращения).

4. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то последняя является главной плоскостью для каждой своей точки.

Если тело имеет ось материальной симметрии, то последняя является главной осью для каждой своей точки.

Симметрия является материальной, когда каждый элемент имеет такую же массу, как и элемент, ему симметричный.

5. В правильном однородном тетраэдре центральный эллипсоид инерции является сферой. (Это вытекает из расположения плоскостей симметрии.)

6. Найти условия, при которых ось Ог является главной для какой-нибудь одной из своих точек М.

Ответ:

2 тхг 2 У "тх ту

(Общее значение этих отношений определяет расстояние Л от О до точки М.)

7. Главные оси инерции для точки, лежащей на главной центральной оси инерции, параллельны главным центральным осям. (Доказать также обратное предложение.)

8. Дан прямой однородный цилиндр высоты Л, основание которого Q лежит в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Ог. Пусть Уд,, Jy,

-его моменты инерции относительно осей Ох, Оу, Ог. Вывести формулы

Jx = h ffydxdy + ~Q, Jy = h J Jx-dxdy + Q,

где интегрирование распространено на прямое сечение. Плотность равна 1, [Resal (Резаль), Cours de IEcole Poiytechnique.]

9. Дана плоская фигура, лежащая в плоскости ху и рассматриваемая как совокупность элементов, для которых координата г равна нулю. Доказать:

Г что каждая ось, лежащая в плоскости фигуры, является главной для одной из своих точек, и вычислить координаты этой точки;

2° что момент инерции относительно оси Ог равен сумме моментов инерции относительно осей Ох и Оу.

10. Моменты инерции поверхностей вращения относительно их осей. Если у = f{x) есть уравнение меридианной кривой, проведенной в плоскости ху и если осью вращения является ось х, то момент инерции описанной поверхности относительно этой оси определяется формулой

/ = 2

яре J уЗ ds.

относительно оси вращения и относительно прямой ее пересекающей, к ней перпендикулярной и одинаково удаленной от оснований. Ответ. Если М - масса объема, то получится





0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004