Главная Промышленная автоматика.

Но мы имеем;

%= - 7" cos 6-4-т,. (4)

y, = ;cosD, = -/sin9g.

I sin e -r - / cos

dfi dfi

Кроме того, по теореме кинетической энергии мы имели уравнение

После дифференцирования по t оно превращается в следующее:

IdY d.4 d"-yi Подставляя значения 1 и в • получим;

Тогда на основании уравнения (4) найдем:

Т = mil -.f (8) + "Ji 4 g =f(0) + •

Начальные условия влияют только на величину к. Выражение для

показывает, что нужно рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли коэффициент к больше или меньше+1. Но он всегда больше, чем -cos вд,

так как - в начальный момент будет обязательно вещественным.

В первом случае (fe]>l)e может изменяться от О до 2я и движущаяся точка Ml будет периодически описывать полный эллипс. Во втором случае (к < \) эта точка будет колебаться между положениями, соответствующими значениям О, обращающим в нуль величину cos Ь-{- к. Особый случай имеет место при к - -\-\. Тогда стержень MMi, выходя из некоторого начального положения, перемещается, стремясь к вертикали, направленной в сторону отрицательных у, но никогда ее не достигает (рассуждения такие же, как для математического маятника).

Вернемся к общему случаю, когда проекция скорости центра тяжести на ось X есть величина постоянная, отличная от нуля, и исследуем относительное движение по отношению к осям хОу, из которых ось Оу все время проходит через центр тяжести G, вследствие чего эта система осей совершает равномерное поступательное движение параллельно оси Ох. Относительное движение будет таким же, как если бы оси уОх были неподвижны (п. 334) и центр тяжести G имел вертикальную скорость. Это движение мы только что изучили (рис. 209).

Чтобы закончить исследование, надо вычислить еще натяжения Г и - Т стержня, а также реакцию неподвижной оси Ох.

Одно из уравнений движения точки Mi есть



Зная Т, найдем сразу же из условия того, что точка М движется по оси Ох:

Отсюда

- ЛГ + Г cos е = m = 0. N=mg + T cos 8.

Пример V. Задача. Найти движение системы, образованной двумя однородными тяжелыми стержнями АВ и АВ одинаковой длины и одинаковой массы, связанных невесомыми нитями одинаковой длины, причем стержень АВ вращается £ вокруг своей середины О, а вся система движется в неподвижной вертикальной плоскости (рис. 210).

Положение системы зависит от двух параметров: от угла наклона <р стержня АВ относительно вертикали Ох и от угла 8, который образует прямая 00, соединяющая середины обоих стержней с этой вертикалью. Система находится под действием весов обоих стержней, натяжений Т к Т нитей и реакции неподвижной точки О. Для определения движения необходимы два уравнения, не содержащие реакций связей. Эти уравнения получатся из теоремы кинетической энергии и теоремы момента количества движения относительно нормали к плоскости фигуры в точке О.

Применим сначала теорем-у кинетической энергии. Так как длина нитей предполагается неизменной, то работы натяжений попарно уничтожаются; работа веса стержня АВ, также как и реакции точки О, равна нулю; что касается элементарной работы веса стержня АВ, то она имеет значение

- Mgl sin 8 rfe.

С другой стороны, кинетическая энергия стержня АВ равна }

а кинетическая энергия стержня АВ равна его кинетической энергии Т () относительном движении вокруг центра тяжести О, увеличенной на кинетическую энергию его массы М, сосредоточенной в точке О, т. е. на


Рис. 210.

2 \dt)

Следовательно, имеем:

2Мк- (+ МР- (= - Mgl Sin е db.

Разделив на dt И выполнив дифференцирование, получим:

rf9 d"-f "Tt dti

,,dbd4 dt dti

= -/sinef.

Переходим теперь к теореме момента количества движения, примененной ко всей системе. С помощью вычислений, аналогичных предыдущим, получим



для суммы моментов количеств движения относительно оси Ог, нормальной к плоскости, значение.

Сумма же моментов сил равна - Mgl&\n%, и мы имеем: Л. {2Mki g + MP = - Mgl sin е. что мы напишем в виде

Умножим это уравнение на - и сложим с уравнением (1) кинетической энергии. Получим:

da db

Величина - не может быть постоянно равна нулю, так как в начале движения она имеет произвольное значение и, следовательно,

dp--

Стержень АВ вращается равномерно. Из уравнения (II) получаем теперь

. = -f-s,n9.

т. е. получаем уравнение движения математического маятника. Точка О движется, следовательно, так, как если бы не существовало стержня АВ и она была бы непосредственно связана с точкой О невесомой нитью.

Для вычисления реакций связей применим сначала теорему момента количества движения к стержню АВ, беря моменты относительно той же оси, что и раньше. Это нам даст

Mki = моменту 7" -f момент Т.

Так как равно нулю, а натяжения Т и Т параллельны, одинаково направлены и находятся на одинаковых расстояниях по ту и другую сторону от начала координат, то они должны быть равны между собой:

Т= Г.

Применим теперь теорему движения центра тяжести к стержню АВ. Его середина О перемещается так, как если бы на нее непосредсгвенно действовала сила Mg веса стержня н два одинаковых натяжения Т и Т, перенесенных в эту точку. С другой стороны, движение этой точки такое же, как если бы она имела массу М и была связана с точкой О невесомой нитью. Следовательно, сумма 27" сил натяжения должна равняться реакции нити при движении математического маятника длины / и массы М, так что

27 = (2а -3/ cos 6), где а - постоянная, зависящая от начальных условий.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036