Главная Промышленная автоматика.

СС = * = г de = - dr ctg X. (2)

Установив эти геометрические соотношения, применим теорему кинетической энергии. На основании теоремы Кёнига кинетическая энергия равна

где Mki - момент инерции конусов относительно их оси. Имеем, следовательно,

d (г2 + Щ (-)] = -Mgdr sin i ctg X,

так как сумма элементарных работ реакций связей равна нулю, а элементарная работа веса Mg на основании равенства (2) есть

Mg СС sin / = - Mg dr sin / ctg X.

Обозначим через Го начальное значение г и проинтегрируем обе части,

предполагая, что начальная скорость, т. е. начальное значение , равно нулю. Мы получим:

/ de \2

(r + my-at) =2g(o-)sin;ctgX. (3)

Наконец, заменяя d0 его значением - ctgX, полученным из равенства (2), и обозначая через [j. постоянную Уё sin i tg X, напишем

,dt-±/

Го-г

нимающимся, когда он предоставлен самому себе без начальной скорости, необходимо, чтобы прямая От была расположена под прямой 0£ (как на чертеже). Мы обозначим через / угол, который образует эта прямая с горизонтом. Основание обоих конусов является окружностью, постоянно касающейся прямой От. Центр С этого основания, который одновременно является центром тяжести прибора, описывает прямую OS, параллельную От.

Если рассматривать плоскую фигуру, образованную основанием, движущуюся в плоскости £0С, то ее мгновенный центр вращения находится в точке Т, так как тело катится по обоим направляющим. Прямая ТС, длину которой мы обозначим через г, является, следовательно, нормалью к траектории точки С, т. е. к прямой OS. Обозначим через s длину ОС, через е - угол, на который конус повернулся от некоторого определенного

положения. Тогда угловая скорость вращения системы равна , а скорость точки С будет такой, как если бы система вращалась с этой угловой скоростью вокруг мгновенного центра Т, а именно:

За промежуток времени dt точка С приходит в С, а Г в Г. Прямые ТС и ТС параллельны, так как они нормальны к прямой OS. СС равно ds. Если через С провести прямую СЕ, параллельную Ох, то СЕ будег равно СТ-СТ, т. е.. -dr. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ССЕ угол при верщине С постоянен и равен углу хОт. Обозначим его через X, имеем:



Так как г, начиная с Kq, должно уменьшаться, как это очевидно геометрически и как это видно из того, что подкоренное количество должно быть положительным, то нужно брать знак минус. Окончательно

J г V Го -г •

Таким образом, t выражено через г при помощи эллиптического интеграла. Когда г стремится к нулю, ( неограниченно возрастает. Центр тяжести стремится к предельному положению А, никогда его не достигая. На основании соотношений (2) имеем:

- = -dbtgX. г = Гое

где через 6 обозначен угол поворота тела, отсчитываемый от начального положения. Далее из равенства (2) получаем:

S -So = (r-Го) ctg X.

Эта последняя формула позволяет преобразовать соотношение (4) в зависимость между S. и Таким путем получится формула, определяющая движение центра тяжести С по прямой OS.

Скорость V центра тяжести определяется, как это видно из равенства (3), соотношением

........... )

K. = r2f4y = 2sin/ctgx-=(-o-

Г2 -f k-

Эта скорость обращается в нуль в начальном положении при г = Го и в конечном положении при г = 0. Следовательно, в этом промежутке она проходит через максимум, который легко вычислить.

Движение основания конусов в плоскости Ю1 можно получить, заставляя катиться логарифмическую спираль г - Гое~ по прямой Ох. Это вытекает из предыдущих уравнений. См. статью Мангейма (Mannheim, Comptes rendus, 3 ноября 1890), статью Сен-Жермена (Saint-Qermain, Comptes rendus, 1891) и статью Флёри (F 1 е и г у, Nouvelles Annales июнь 1854).

В упражнении 10 можно будет найти указания для решения аналогичной задачи, в которой двойной конус будет заменен шаром.

Пример IV. Эллиптический маятник. Так называется система двух тяжелых точек М и Ml, связанных между собой неизменяемым невесомым стержнем, из которых одна, М, движется без скольжения по горизонтальной прямой Ох, а другая, М,, должна оставаться в вертикальной плоскости хОу (рис. 209).

Примем за ось у какую-нибудь вертикаль, направленную вниз. Силами, действующими на точку М, являются: ее вес mg, нормальная реакция N оси Ох и натяжение Т стержня MMi, на точку Mi действуют натяжение - 7" и вес mg. Эти силы можно разделить на внутренние силы Т и - 7" и внешние Л, mg и mig или также на заданные силы mg, mg и на реакции связой N, Т, - Т.




т-\- т, т-\- т,

Следовательно, координатами точек М к М, являются

--sin 9 „ о, х,= " sin 9, у1 = / cos 9.

т + т, т + т,

Чтобы вычислить 9 в функции t, достаточно внести эти аначеяия в уравнение (3), где

Таким образом, после некоторых приведений получится:.

(т + т, sin2 9) (-= (m -f m,) (cos 9 +

где * у • Отсюда найдется t в функции 9 при помощи одной квадратуры.

Положение системы зависит только от двух параметров: от абсциссы х точки Ж и от угла 6 между ММ, и вертикалью. Следовательно, для определения движения достаточно двух уравнений, не содержащих реакций связей.

Первое из этих уравнений мы составим по теореме движения центра тяжести G: сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю. Следовательно,

(т + т,) = 0. (1)

Таким образом, движение проекции центра тяжести G на ось Ох происходит равномерно, что дает первое уравнение

тх -j- m,Xi - ct -\- с. (2)

Так как связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то по теореме кинетической энергии, принимая во внимание, что работа веса mg равна нулю, имеем:

mv -j- m,vl d-2-= iS dyy.

Легко проверить, что сумма работ реакций связей равна нулю. Действительно, сила N остается нормальной к перемещению ее точки приложения, а сумма работ сил натяжений 7" и - Т равна нулю вследствие условия, что точки М к М, должны оставаться на неизменном расстоянии.

Если проинтегрировать предыдущее уравнение, то получнтся

mv"" -f m,vl = 2m,g (у -f h). (3)

Уравнения (2) и (3) определяют движение.

Исследуем подробно случай, когда начальная скорость центра тяжести, вертикальна или равна нулю. Уравнение (1) показывает, что эта точка опишет тогда вертикаль. Приняв ее за ось у, найдем, что 5 = 0. Тогда движение геометрически описывается следующим образом: точки М, G и М, остаются на неизменных расстояниях; две из них, G и М, описывают две взаимно-перпендикулярные прямые Ох и Оу; следовательно, третья точка М, перемещается по эллипсу, для которого эти прямые являются осями. Полагая

м,м - I, дм, = 9,

получим:

MG=-, M,G=





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0041