Главная Промышленная автоматика.

2 (хУ- УХ) = -Я S гпх (г, + у).

где Мк - момент инерции стержня относительно точки G. Разделяя последнюю сумму на две части, мы видим, что первая 2 хг = 12 Ра нулю, так как подвижное начало совпадает с центром тяжести, а вторая после перехода к полярным координатам

х = г cos в, у = г sin 9

принимает вид

2 тху = 2 мга sin 9 cos 9 = Mk sin 9 cos в. После деления на Мк уравнение обращается в следующее:

5p- = -/2sinecos9. (6)

Интегрирование и анализ этого уравнения аналогичны интегрированию и анализу уравнения математического маятника, как это видно, если положить 26 = т.

Умножая обе части уравнения движения на 2 и интегрируя, получим:

(.=<o2 /2sin2 е.

где о) - значение угловой скорости при 9 = 0. Если меньше, чем то будут получаться колебания по одну и другую сторону от Gx, если же больше, чем /2, то будет происходить полное вращение. При afi =/« имеем

.§ =/cose, =lntg(4-l-j).

если отсчитывать t от момента, когда 9 равно нулю. В этом случае стержень стремится занять положение, перпендикулярное оси Ох, но он никогда не

достигнет его, так как 9 стремится к , когда t неограниченно увеличивается.

Колебания, определяемые уравнением (6), названы Тэтом и Томсоном (Natural Philosophy, § 322) квадрантными.

Пример II. Движение однородного тяжелого круга, который катится без скольжения по прямой, оставаясь все время в вертикальной плоскости, проходящей через эту прямую. Примем за ось Ох заданную прямую, а перпендикуляр к ней, лежащий в вертикальной плоскости и направленный вверх, - за ось О у (рис. 207). Обозначим через а угол, образуемый осью Ох с горизонтом. Система, состоящая нз движущего диска, имеет полные связи. Ее положение зависит только от одного параметра, а именно от угла АСВ = 9, на который поворачивается диск, или от абсциссы OA = х его центра.

Условие качения без скольжения можно осуществить или при помощи нити, натянутой по Ох н намотанной на диск, или снабдив диск и непо-

Пусть Gx и Gy - оси, проведенные из точки G параллельно осям Ох и Оу, в - угол xGB и г - радиус Gm, который считается положительным в направлении от G к В и отрицательным в направлении от Q к А.

Обозначая через х и у новые координаты точки т, получаем:

x = i + x, у = т)-Ьу, K = -/2m(r, + y).

Уравнение теоремы момента количества движения, примененной к относительному движению вокруг центра тяжести, будет



движную прямую очень малыми зубца.ми. В некоторых руководствах для ТОГО, чтобы выразить, что диск может только катиться по прямой без скольжения, говорят, что прямая является абсолютно шероховатой.

Если мы предположим, что вначале точка В совпадает с точкой О, то согласно предыдущему абсцисса х будет иметь значение

х = т.

Силы, -действующие на диск, суть вес Mg, приложенный в его центре С, и наклонная реакция Q прямой. Уравнение движения мы составим по теореме кинетической энергии. Полная кинетическая энергия равна кинетической энергии - {~ "- массы, сосредоточенной в центре тяжести С,

сложенной с кинетической энергией Mk { относительном вращении


Рис. 207.

вокруг центра тяжести с угловой скоростью ~. Мы уже видели (п. 162),

что работа реакции равна нулю. Что касается элементарной работы веса, то она равна Mgdx sin а. Имеем, следовательно.

(1)]

: Mg dx sin а.

Заменим в его значением -г, разделим на Af и выполним дифференцирова-

d"X

ние, указанное в левой части. Тогда, разрешая уравнение относительно , получим:

dx df

sin a

Следовательно, центр диска движется равноускоренно по прямой, параллельной оси X. При этом полученное выражение показывает, что ускорение всегда меньше, чем g и даже тогда, когда прямая вертикальна. Во всех предыдущих рассуждениях мы не предполагали, что диск однороден, а предполагали только, что его центр тяжести совпадает с центром фигуры.

7 Зак, 922. П. Аппель, т. II



Раньше, предполагая диск однородным, мы получили для значение • Тогда уравнение движения будет следующее:

d"-x 2 .

Для вычисления проекций -F и N реакции Q на оси Ох и Оу напишем уравнения движения центра тяжести:

dx rf2y

М = Mg sin о. - F, М = - Mg cos а. +

d"-x db

Заменяя его значением и замечая, что равно нулю, получим:

Mg sin а, N = Mg cos а.

Следовательно, реакция постоянна.

Пример HI. Движение по наклонной плоскости двойного конуса, кажущегося поднимающимся, хотя в действительности он опускается (Resal, Comptes rendus, т. CXI, стр. 547). Даны две прямые 0D и 0D, одинаково наклоненные к горизонту и образующие между собой угол 2ср, вершина которого находится внизу. На эти прямые положено тело, образованное двумя однородными, одинаковыми конусами, соединенными основаниями таким образом, что плоскость оснований совпадает с вертикальной плоскостью Ю (рис. 208), проведенной через биссектрису Ох угла DOD.


Рис. 208.

Требуется найти движение двойного конуса в предположении, что он может катиться без скольжения по обеим прямым 0D и 0D. Примем плоскость фигуры за вертикальную плоскость, проведенную через биссектрису Ох угла DOD, и выберем ось ОС по вертикали вверх и ось 05 горизонтально. Обе прямые 0D и 0D, служащие направляющими для двойного конуса, проектируются на плоскость чертежа по оси Ох; обе точки, в которых конус касается этих направляющих, проектируются в точку Т; наконец, верщины обоих конусов проектируются на ту же плоскость в одну точку С, так как весь прибор симметричен относительно плоскости 50!.

Касательные плоскости к обоим конусам, проведенные соответственно через направляющие 0D и 0D, образуют с горизонтальной плоскостью постоянные углы и вследствие этого неподвижны. Эти две плоскости пересекаются по неподвижной прямой От. Чтобы двойной конус казался под-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039