Главная Промышленная автоматика.

Найдем, наконец, реакции оси ворота. Можно допустить вследствие симметрии, что реакции оси приводятся к одной силе Q, приложенной в точке О и нормальной к оси. Применим к вороту теорему движения центра тяжести. Так как эта точка остается неподвижной, то необходимо, чтобы приложенные к вороту внешние силы Q, Mg, Т и Т, перенесенные в точку О, находились в равновесии. Отсюда следует, что реакция опоры на ось вертикальна, направлена кверху и имеет значение

Q = Mg + T + r,

т. е.

О = (Mg -\-m-{-m)g-->---„ g.

Эта реакция всегда меньше суммы трех весов и .может ей равняться не иначе, как при выполнении условия

mR = mR,

при котором движение будет равномерным, так как в этом случае = 0.

Заметим, что в рассматриваемой задаче ворот вращается вокруг главной центральной оси инерции. Отсюда следует, как мы это видели раньше, что реакция опоры определяется из формул, которые получаются, если пренебречь парой с вектором моментов, параллельным оси вращения, что сразу позволяет найти значение Q.

II. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости

865. Общие положения. В предыдущих примерах было рассмотрено движение твердых тел, точки которых могли перемещаться только параллельно неподвижной плоскости. Рассмотрим теперь такое же движение в общем виде. Возьмем, например, цилиндр, лежащий своим основанием на неподвижной плоскости; каждая точка тела будет тогда описывать траекторию, лежащую в неподвижной плоскости, параллельной заданной неподвижной плоскости. В частности, если через центр тяжести в его начальном положении провести плоскость хОу, параллельную неподвижной плоскости, то центр . тяжести будет оставаться в этой плоскости. То же самое будет для всех точек тела, лежащих в начальный момент в этой плоскости. Рассмотрим сечение 5 тела плоскостью хОу. Для определения положения тела достаточно, очевидно, знать положение этого сечения S, т. е. координаты 5 и т] центра тяжести О

(рис. 205) относительно неподвижных осей Ох vi Оу тл угол 9, образуемый осью Ох и каким-нибудь радиусом От, неизменно связанным с телом.


Рис. 205.



(i-#)+«"f]=5:<"--)-

2°. Уравнение, получаемое применением теоремы кинетической энергии к абсолютному движению. Согласно теореме Кёнига (п. 349) кинетическая энергия системы равна

Имеем поэтому уравнение

f[(f) + {) + *(f)1 = S(+-. (5)

Если предположить, что на тело действуют внешние силы, проекции которых на оси Ох и Оу мы обозначим через Х, Х, .....

то составим сначала два уравнения по теореме движения центра тяжести:

где суммы 2 распространены на все внешние силы.

Проведем через центр тяжести О оси Ох и Оу, параллельные неподвижным осям, и обозначим через х, у координаты точки тела относительно этих осей, а через Мк - момент инерции тела относительно оси Ог, перпендикулярной к плоскости хОу.

Относительное движение тела по отношению к осям Охуг есть

вращение с угловой скоростью вокруг оси Ог. Так как для

движения вокруг оси Ог применима теорема момента количества движения, то имеем уравнение

MkixY-yX).

Последнее можно получить так же, как в п. 359, применяя теорему кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести.

Таковы три уравнения, определяющие %, у], Ь в функции t. Из комбинаций этих уравнений, которые могут заменить одно или другое из них, упомянем следующие:

1°. Уравнение, получаемое применением теоремы момента количества движения относительно неподвижной оси Ог перпендикулярной к плоскости хОу. Согласно доказанной нами теореме сумма моментов количеств движения различных точек тела относительно

оси Ог равна моменту количества движения l($--- "

массы, предполагаемой сосредоточенной в центре тяжести, сложенной с моментом количеств движения Mk в относительном движении вокруг оси Ог. Имеем уравнение



в скобках правой части третье слагаемое отсутствует, так как dz для всех точек равно нулю.

Если обозначить через J момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости хОу и проходящей через мгновенный центр вращения плоской фигуры 5. то кинетическая энергия

тела будет -•(5?") скорости будут такими же, как если бы

тело вращалось вокруг этой мгновенной оси. Но так как рассматриваемая ось перемещается в теле, то величина J является переменной.

Примечание. У тела могут быть и другие связи, кроме тех, которые заставляют его перемещаться параллельно неподвижной плоскости хОу. Тогда реакции, развиваемые этими связями, будут входить в правые части некоторых из предыдущих уравнений и необходимо будет их исключить. Если, однако, эти связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то реакции связей не войдут в уравнение кинетической энергии (5).

Если имеется несколько твердых тел, движущихся параллельно неподвижной плоскости, то можно применить к каждому из них предыдущие уравнения и исключить затем взаимные реакции тел или можно применить общие теоремы к совокупности этих тел. Из нижеследующих примеров будет видно, как можно решать такого рода задачи.

366. Пример I, Материальный стер-жень длины 21 (рис. 206) и массы М скользит без трения по горизонтальной плоскости. Элементы стержня притягиваются неподвижной осью Ох пропорционально массам и расстояниям.

Пусть 5, if[ - координаты центра тяжести G стержня АВ, у - ордината тр элемента массы т. Сила F, действующая на этот элемент, направлена по тр и пропорциональна этому расстоянию и массе т. Следовательно,

ЛГ=0, Y = -Pmy, У=:-Рту=-МГ-п. Поэтому дифференциальные уравнения движения центра тяжести будут; йЧ

Рис. 206.

df- df

Интегрируя их, найдем

i = at-\-b, т) = Л sin (ft + а). Исключая t, получим для траектории точки G уравнение

if[ = Л sin (XS -f fi), где X и fji. - постоянные. Эта кривая имеет форму синусоиды.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039