Главная Промышленная автоматика.

Окончательно

i = cose+C.

1 = - Afg (If + l) cos 9 - MCI, n = (-l)sine.

Так как P - - p2, то составляющая Y no OP имеет всегда знак, противоположный sin в; она будет равна нулю, если тело сжать в точку, т. е. если маятник превратить в математический, так как в этом случае Р - k. Этот последний результат очевиден, так как для математического маятника реакция точки подвеса равна и противоположна натяжению нити.

363. Исследование изменения длины синхронного математического маятника при перемещении оси подвеса заданного тела.

Формула Z=7-f-y позволяет прежде всего исследовать изменение

длины синхронного маятника, когда ось подвеса перемещается в теле параллельно самой себе. Само выражение этой длины показывает,

что / имеет минимум, когда оба члена I и у равны между собой,

т. е. когда ось подвеса находится на расстоянии, равном радиусу инерции р от центра тяжести. Тогда это минимальное значение равно 2р. Если задаться длиной большей чем 2р, то существуют два соответствующих значения I. Следовательно, оси подвеса, параллельные заданному направлению, для которых синхронный математический маятник имеет одну и ту же длину I, образуют два круговых цилиндра, общая ось которых проходит через центр тяжести.

Вычислим составляющие Xi и Vi реакции Q по направлению 0G н по перпендикулярному к нему направлению ОР в плоскости хОу (рис. 203).

Имеем:

Xi =Х cos 6 +Г sine, Yi = X sin В - У cos 6. С другой стороны, так как

/ = i cos в + Г] sin 8, О = S sin 8 - Y] cos в,

то из формул (4) получим:

Xi = -Ма"-1 - Mg cos 9,

Y,- М I-MgslnQ. Ho на основании уравнения движения

da gl , а

-77 = -I? sine dt ki

и согласно теореме кинетической энергии (предоставляющей первый интеграл этого уравнения) имеем:



Возьмем теперь произвольные оси подвеса. Для того чтобы увидеть, как изменяется длина / синхронного математического маятника, отнесем тело к главным осям центрального эллипсоида инерции. Уравнение этого эллипсоида имеет вид

ЛЛ-BK2-f CZ2=1.

Обозначим через а, -{ направляющие косинусы оси подвеса Д и через / ее расстояние от центра тяжести, т. е. от выбранного начала координат. Момент инерции Мр системы относительно оси Д, проведенной через центр тяжести параллельно оси подвеса, равен (п. 318)

Следовательно, для длины синхронного математического маятника получаем:

l = l + -

При помощи этой формулы можно исследовать комплекс, образованный осями, для которых синхронный математический маятник имеет заданную длину. Это исследование выполнено в статье Бёклён (BOklen, Crelle, т. 93), в которой содержатся некоторые важные результаты, указанные в упражнении 5 в конце главы.

Рис. 204.

364. Машина Атвуда. На каждое из двух колес однородного ворота, вращающегося вокруг горизонтальной оси, намотана в противоположных направлениях невесомая гибкая нить. Нити несут грузы, массы которых /пит (рис. 204). Исследовать движение этой системы.

Заданные силы суть веса mg, тg и Mg грузов и ворота. Реакциями связей являются натяжения Г и - Т нити Am и натяжения Г и - Т нити Ат. Кроме того, имеются реакции оси.

Будем считать положительным вращение от направленной вертикально вниз оси Ох к оси Оу и обозначим через « угловую скорость, через х их - расстояния Am и Ат и через R и R - радиусы ОА и О А.

Система имеет полные связи, так как ее положение зависит только от угла поворота ворота. Предполагается, кроме того, что трение отсутствует. Поэтому уравнение движения может быть получено из теоремы кинетической энергии в форме, указанной в п. 343.

Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии -Mkoii

ворота и кинетических энергиит 11 и у"*!") точек/и и/и . С другой стороны, работы весов обеих точек т и т равны mgdx и mgdx,



dt « Mki + mR- + mR"-

Ускорения R H -точек mum будут, следовательно, постоянными, н движения этих точек будут равнопеременными. При этом сразу видно, что эти ускорения будут меньще чем g.

Для вычисления натяжения Т нити Am напишем уравнение движения точки т:

"Л = "-"

из которого получаем: Точно так же находим:

работа веса ворота равна нулю, так как его центр тяжести неподвижен, умма работ реакций связей равна нулю. Следовательно, имеем:

[л1Аг<о2 + т + /й ()] mgdx + тgdx\

Но скорости точек т я т равны соответственно скоростям точек А и А ворота; следовательно,

dx п dx г./

Подставляя эти значения производных в предыдущее равенство, получим хравнение движения.

Это же уравнение можно получить, применяя теорему моментов количеств движения относительно оси ворота. Сумма моментов сил приводится к сумме моментов

mgR-mgR

весов mg и mg; моменты всех остальных сил равны нулю.

С другой стороны, сумма моментов количеств движения точек ворота равна Mka, а точек т к т равна

dx , „, dx mR-mR-.

Таким образом, имеем уравнение

{Mkia + mR~- mR ) = mgR - тgR,

dx dx „,

которое после замены н через и - Ra приводится к виду

[Мк + + mR = mgR - mgR,

откуда получается для постоянное значение da mR - mR





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037