Главная Промышленная автоматика.

Частный случай. Формулы упрощаются, когда ось вращения является главной центральной осью инерции. Действительно, в этом случае имеем:

2 игл; = О, ту = 0, "rnxz - O, myz=0, И уравнения, определяющие реакции, принимают теперь вид

(yZ - zY) - hY"0. izX-xZ)-{-hX"0.

Эти уравнения совпадают с первыми пятью условиями равновесия (п. 110). Последнее условие равновесия не выполняется, так как

N= {xY - уХ) не равно нулю. Эта

величина равна Mk.

Чтобы пояснить найденный результат (рис. 201), приведем к началу координат внешние силы F(X, Y, Z), действующие на тело. Получим главный вектор

R{X, У, 2 Z) и пару с вектором

момента ОН. Разложим эту пару jia две,

из которых одна имеет момент ОМ, направленный вдоль Oz, а другая -


Рис, 201.

момент ОК, перпендикулярный к Oz. Если отбросить пару ON, сохранив лишь действие на тело результирующей силы R и пары с моментом ОК, то это тело, если оно было неподвижно, будет оставаться в равновесии и реакции оси будут иметь некоторые значения Q и Q". Если теперь телу сообщить некоторую начальную угловую скорость и приложить к нему

пару ON, то тело будет вращаться, но реакции оси останутся те же, какие были при равновесии.

Примечание. Формулы (1) показывают насколько важно, чтобы в машинах вращающиеся части, такие, как маховое колесо, вращались вокруг главной оси инерции относительно центра тяжести. В противном случае в значения реакций будут входить квадраты угловой скорости и вследствие этого, если угловая скорость станет большой, реакции и вместе с ними давления на ось станут очень большими и могут вызвать поломку или разрыв оси.



361. Постоянные и свободные оси вращения. Вернемся теперь к случаю, когда ось вращения произвольна, и допустим сначала, что заданные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку О. Тогда

2 {yZ - zY} = 2 (zX-xZ) 2 (xY - yX) = 0.

и уравнения примут вид

- 0)2 2 тх = 2 + +

- cd2 2 т;/ = 2 + + У".

0 = Z + Z + Z", \ (2)

0)2 2т;/2 = -ЙК", - iiflmxzhX", где (В - угловая скорость вращения, которая в рассматриваемом случае постоянна, так как = 0.

Исследуем, может ли получиться, чтобы при указанных условиях реакция в точке О" обратилась в нуль. Для этого необходимо, чтобы было

Х" = 0, К" = 0, Z"==0,

т. е.

2 tnyz - О, 2 "xz ~ О,

или чтобы ось вращения была главной осью инерции относительно точки О. Допустим, что эти условия выполнены. Тогда реакция в точке О" будет равна нулю и эта точка не будет оказывать никакого действия на тело. Ее можно в таком случае отбросить, т. е. сделать тело свободным в точке О", ничего не меняя в характере движения. Можно, следовательно, высказать такую теорему:

I. Если твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки, подвергается действию внешних сил, имеющих равнодействующую, проходящую через эту точку, а если тело начинает вращаться вокруг оси инерции главной для закрепленной точки, то оно будет продолжать неограниченно вращаться вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью.

Вследствие такого свойства главных осей инерции их иногда называют постоянными осями вращения.

Допустим теперь, что к телу не приложено никаких заданных сил. В вышенаписанных уравнениях (2) будет

2=2>=22=о.

Может ли случиться, чтобы реакция в точке О обращалась в нуль одновременно с реакцией в точке О"? Чтобы это осуществить.



. ш2

т. е. будут линейными однородными уравнениями относительно 2 туг, 2 nixz, определитель которых + ( 1 отличен от ну-ая, если только тело находится в движении. Следовательно, для 2 туг и 2 "xг получаются значения, равные нулю.

2°. Точно так же, если предположить, что заданные силы, приложенные к телу, приводятся к одной паре с вектором момента, параллельным оси Ог, то для того, чтобы обе реакции в точках О и О" равнялись нулю, необходимо и достаточно, чтобы ось Ог была главной центральной осью инерции.

362. Физический маятник. Физический маятник - это тяжелое твердое тело массы М, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси.

Примем за ось z ось подвеса, вокруг которой может вращаться тело, а за плоскость ху - вертикальную плоскость, содержащую окружность, описываемую центром тяжести О, причем осью Ох является вертикаль, направленная вниз (рис. 202).

необходимо к предыдущим условиям добавить уравнения 2 тх - О, 2 ту 3= 0.

Тогда ось вращения будет главной центральной осью инерции (п. 319). Мы можем, следовательно, высказать следующее предложение:

II. Есла совершенно свободное твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы, начнет вращаться вокруг одной из главных центральных осей инерции, то оно будет продолжать вращаться вокруг этой оса и притом равномерно.

Благодаря этому свойству главным центральным осям инерции дано наименование свободных осей вращения.

Примечание. Предыдущие результаты могут быть обобщены следующим образом:

1°. Допустим, что задаваемые силы приводятся к силе проходящей через точку О, и к паре, вектор момента которой направлен по оси Ог. Тогда угловая скорость m не будет постоянной и для определения реакций нужно будет обратиться к уравнениям (1), положив в них

2 {уг-гУ) = {гХ-xZ) = 0.

Опять необходимыми и достаточными условиями равенства нулю реакции в точке О" будут равенства:

2 тхг = 0, 2 туг = 0.

В самом деле, эти условия будут:

со/иуг -2/ил:г =0,

тхг - туг = О,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0038