Главная Промышленная автоматика.

ГЛАВА XIX

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ДВИЖЕНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

359. Уравнение движения. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, представляет собой систему с полными связями, так как его положение зависит только от одного параметра, а именно от угла, на который тело поворачивается от какого-нибудь определенного положения.

Если мы допустим, что связи осуи;ествлены без трения, то единственным уравнением, определяющим движение тела, будет уравнение, получаемое из теоремы кинетической энергии, так как работа реакций связей в этом случае равна нулю. Предположим, что на тело действуют заданные силы F, F, .... F„, и будем обозначать через X, Y, Z проекции какой-нибудь из этих сил на оси.

Примем ось вращения за ось z и пусть ш - угловая скорость в момент t, а М - вся масса тела. Кинетическая энергия системы будет:

т. е. кинетическая энергия тела равна квадрату угловой скорости, умноженному на половину момента инерции тела относительно оси вращения.

Теорема кинетической энергии выражается теперь уравнением

J-iXdxYdyZdz).

в которое входят только заданные силы. Если через г, В, z обозначить цилиндрические координаты точки х, у, z тела, то

х - гсо%Ь. = г sin 9. Когда тело вращается, меняется только 9 и тогда

= -dt dx = - г sin 9 fi?9 = -у (В dt. dy - rcosЬdb ~ X uidt, dz=0.

6 Зак, 922. П. Аппель, т. U



Уравнение кинетической энергии принимает теперь вид

которое после выполнения дифференцирования в левой части может быть написано так:

Это уравнение может быть получено другим способом, исходя из теоремы момента количества движения. Применим эту теорему к оси Oz. Так как моменты реакций равны нулю, то мы получим:

и после подстановки мы получим опять уравнение, найденное из теоремы кинетической энергии.

360. Реакции оси. Чтобы получить возможность вычислить эти реакции, мы предположим, что неподвижность оси достигается путем

закрепления двух ее точек О и О". Пусть Q{,X, Y, ZO и Q"(X". Y", Z") - реакции оси в этих двух точках (рис. 200). Мы можем рассматривать тело как свободное, причисляя к заданным силам реакции Q и Q". Применяя тогда к системе теорему количества движения, мы получим три следующих уравнения:


Рис. 200.

Применяя затем теорему момента количества движения относительно осей Ох и Оу п обозначая через Л координату z точки О", получим два уравнения:



Эти два последних уравнения определяют X" и Y". Два первых из предыдущей группы определяют X и Y, а третье - сумму Z -\-Z". Здесь мы встречаемся с той же особенностью, что и при равновесии, особенностью, которую мы изучили в статике. Если предполагать тело абсолютно твердым, то можно найти только Z-\-Z". Определить отдельно Z и Z" можно только, принимая во внимание упругие деформации тела (п. 110). Эта неопределенность вызвана тем, что если тело является твердым, то, не изменяя его состояния, можно приложить в точках О и О" две произвольные силы / и - /, равные и прямопротивоположные. Составляющие Z и Z" реакций станут тогда равными Z -- / и Z" - /и одна из них при подходящем выборе / может принять какое угодно значение, например нуль.

Мы развернем теперь предыдущие уравнения, заменив вторые производные координат их значениями в функции ш. Мы уже получили

dy

- дгсо.

откуда выводим dx

diy , , d(o

dt"-

= 0,

и формулы принимают вид

-.mx-Yiy==X + X"+JX

гYrny£mxY+Y"-\-Y.

0 = Z + Z" + Z, 2 V „уг- mxz = y (yz-zY) -hY",

-imxz - myz = (zX- xZ) + hX".

Входящие в эти формулы суммы изменяются со временем. Например, тх имеет значение Ml, где I - абсцисса центра тяжести. Для вычисления других сумм введем систему осей Oxyz, вращающуюся вместе С телом, причем Oz совпадает с Oz, а угол хОх равен ср. Формулы преобразования будут:

х = х cos ср - у sin ср, = х sin ср -{- у cos ср,

откуда выводим

2 "yz = sin ср 2 mxz + cos ср 2 myz, 2 клгг = cos ср 2 rnxz - sin ср 2 niyz,

где суммы, входящие во вторые части, не зависят от времени.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037