Главная Промышленная автоматика.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Обобщение теоремы Кёнига и теоремы кинетической энергии относительно осей постоянного направления, проведенных из центра тяжести. Пусть Ох, Оу, Ог - три неподвижные, прямоугольные оси, к которым отнесена произвольная материальная система; Ох, Оу. Ог - три оси, которые остаются параллельными предыдущим, но начало которых О соверщает произвольное движение.

. Для того чтобы уравнение кинетической энергии было применимо к относительному движению по отношению к подвижным осям, необходимо, чтобы проекции скорости точки О и абсолютной скорости центра тяжести на направление ускорения точки О были одинаковы.

И. Условие того, чтобы кинетическая энергия системы была равна кинетической энергии всей массы, сосредоточенной в подвижном начале О, увеличенной на кинетическую энергию относительного движения по отношению к подвижным осям, заключается в том, что скорость г/этого начала должна равняться проекции абсолютной скорости центра тяжести на направление скорости начала Vq, (Bonne t, Memoires de IAcademie de Montpellier, section des Sciences, т. 1, стр. 142).

Следствие для случая, когда система является твердым телом. Если в какой-нибудь произвольный момент движения твердого тела описать прямой круговой цилиндр, образующие которого параллельны мгновенной винтовой оси, а прямое сечение которого имеет диаметром перпендикуляр, опущенный из центра тяжести на эту ось, то каждая точка А, взятая на этой цилиндрической поверхности, обладает свойством, высказанным в теореме Кёнига: кинетическая энергия тела в рассматриваемый момент равна сумме кинетической энергии, которую будет иметь вся масса, сосредоточенная в точке А, и кинетической энергии тела в его движении вокруг точки А, Не существует другой точки тела, обладающей этим свойством (С а и с h у, Anciens Exercices, стр. 104, 1827; Bonnet loc. cit.; Gilbert, Comptes rendus, T. CI, стр. 1054 и 1140).

2. При перемещении произвольной материальной системы, как изменяемой, так и неизменяемой, сумма произведений массы каждой точки на квадрат ее перемещения равна произведению всей массы системы на квадрат проекции перемещения центра тяжести на произвольное направление АВ, увеличенному на сумму произведений массы каждой точки на квадрат перемещения, которое ей нужно сообщить, чтобы привести ее в конечное положение, после того как ей было сообщено перемещение в направлении АВ, равное проекции перемещения центра тяжести на это направление (Fouret, Bulletin de la Societe mathematique, т. XIV, стр. 142).

3. Каковы точки А движущегося твердого тела S, обладающие, так же как и центр тяжести, следующим свойством: момент количества движения тела S относительно неподвижной прямой Ог в данное мгновение равен моменту количества движения всей массы, предполагаемой сосредоточенной в точке А, увеличенному на момент количества движения тела относительно прямой Аг, параллельной Ог, если рассматривать относительное движение по отношению к осям, имеющим постоянное направление и пересекающимся в точке Л? (Геометрическое место точек А есть гиперболоид.) (De Saint-Oermain, Comptes rendus, т. CVII.)

4. Рассматривается система, образованная твердым телом, совершающим поступательное прямолинейное равномерное движение со скоростью v и материальной точкой массы т, вначале неподвижной. Предполагается, что тело сталкивается с этой точкой т и начинает двигаться вместе с нею, не изменяя скорости, что можно осуществить приложением внешних сил. Доказать, что полная энергия системы увеличится на mv (Marcel Deprez - Марсель Депре).

5. Дана система, состоящая из двух свободных материальных точек, притягивающихся по произвольному закону. Теорема площадей применима



= -g / /(X)cf( + X)dX,

где г = <p (a) есть соотношение между г и дугой s точки кривой. Если кривая является циклоидой, то движение будет таутохронным.

8. Найти движение двух свободных точек, притягивающихся пропорционально их расстоянию.

9. Материальная точка вынуждена скользить без трения по оси Ох; другая материальная точка совершенно свободна. Найти движение системы, предполагая, что обе точки притягиваются пропорционально расстоянию, и вычислить реакцию оси Ох. (Достаточно написать уравнения движения обеих точек. Задача приводится к легкому интегрированию.)

10. Две материальные точки М и М одинаковой массы т, движущиеся в горизонтальной плоскости, связаны друг с другом нерастяжимой и невесомой нитью длины 21. Точка М притягивается неподвижной точкой А, а точка М - неподвижной точкой А пропорционально расстоянию. Найти движение системы. Принять прямую АА за ось х и середину АА за начало; обозначить через 2а расстояние АА, через $ и yj - координаты середины О отрезка ММ, через 8 - угол, образованный прямой GM с осью Ох, и, наконец, через 1>.тАМ и [imAM - абсолютные значения притяжений к точкам А и А (Лиценциатская, Париж).

11. Две материальные точки М и М, с массами т и т,, связанные нерастяжимой и невесомой нитью длины /, скользят без трения по горизонтальной плоскости XOY. На эти точки действуют силы F и F, направленные к оси 0Y перпендикулярно к ней, пропорциональные массам этих точек и их расстояниям от этой оси. Найти движение системы.

Обозначив через х и х абсциссы обеих точек, положить, что проекции сил F п F, на ось ОХ суть -kmx и -ктх,. Обозначить через S и г) координаты центра тяжести G системы и через 6 угол, образованный прямой ММ с осью ОХ (Лиценциатская, Париж).

12. Две материальные точки одинаковой массы скользят без трения одна ро оси Ох, а другая -по перпендикулярной к ней оси Оу. Эти точки

К проекциям движения на три координатные плоскости. Если через центр тяжести системы и касательные к траекториям каждой точки провести плоскости, то обе эти плоскости пересекутся по прямой, лежащей в неизменяемой плоскости (т. е. перпендикулярной к Ga, п. 350) (Пуансо). Якоби использовал это свойство в задаче трех тел (Journal de Crelle, т. 26, стр. 115) (Журнал Крелля).

6. Однородный круглый диск, который может скользить без трения по горизонтальной плоскости, вращается вокруг своего центра О. На окружности диска в двух диаметрально противоположных точках А н В помещены два насекомых одинаковой массы. Когда оба насекомых находились в покое, диску было сообщено вращение вокруг О с начальной угловой скоростью (Оц. Эта угловая скорость сохранится, если насекомые останутся неподвижными на окружности диска. Спрашивается, как изменится угловая скорость диска, когда оба насекомых, оставаясь диаметрально противоположными, начнут в момент < = О описывать окружность с относительной скоростью V, изменяющейся пропорционально времени: v = it.

7. Найти движение тяжелой неоднородной цепи, скользящей без трения по неподвижной кривой. Поступать так же, как в тексте (п. 344), приняв плотность р = /(X), где X обозначает расстояние, измеряемое по кривой от какой-нибудь точки цепи до ее середины. Вычислить натяжение.

Если обозначить через М всю массу, то получится уравнение



притягиваются по закону обратной пропорционалгности квадрату расстояния между ними. Найти движение. Найти, в частности, кривую, описываемую центром тяжести обеих точек (коническое сечение с фокусом О, описываемое по закону площадей) (Лиценциатская, Париж).

13. Две точки одинаковой массы, связанные невесомой и нерастяжимой нитью, скользят без трения одна по горизонтальной оси Ох, а другая по вертикальной оси Оу. Найти движение системы [Dorna (Дорна), Memoires de IAcademie de Turin, т. XXXI].

14. Найти движение трех точек, описывающих одну и ту же неподвижную прямую и притягивающихся друг к другу пропорционально массам и обратно пропорционально кубу расстояний. (Якоби, Oesammelte Werlce, т. IV, стр. 533-539).

15. Та же задача в предположении, что, кроме того, каждая точка притягивается неподвижным центром пропорционально расстоянию.

(Мещерский показал, что задача приводится к предыдущей заменой переменных, выполненной для времени н координат. См. Bulletin des Sciences mathematique, 1894, Melanges.)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0037