Главная Промышленная автоматика.

Обозначая входящие в эту формулу постоянные суммы через А, В, С, D, Е, р, получим:

2 = Ла2 + - 2DX - 2Еуа - 2Ра. (1)

Постоянные А, В, С являются моментами инерции относительно осей координат, а D, Е, р суть произведения инерции или, что то же, центробежные моменты инерции.

Для геометрической интерпретации результата, к которому мы пришли, отложим на каждой прямой 08 по обе стороны от точки О

отрезки такой длины ОР, что -i- = " найдем геометриче-

ское место точек Р(Х, Y, Z). Прежде всего имеем:

X а Y Z 1 V 2

и, подставляя эти значения в равенство (1), получим:

1 = + + CZ2 - 2DYZ - 2EZX~ 2FXY, (2)

т. е. уравнение поверхности второго порядка. Эта поверхность, имеющая в начале координат центр, будет эллипсоидом. Действительно, радиус-вектор ОР будет всегда вещественным и конечным, так как

он имеет значение \/Ymr, а момент инерции всегда положителен. Исключение представляется лишь в том случае, когда все материальные точки системы лежат на одной прямой, проходящей через О. В этом случае момент инерции относительно этой прямой равен нулю и эллипсоид обращается в цилиндр вращения вокруг этой прямой.

Эллипсоид, уравнение которого мы только что получили, носит название эллипсоида инерции для точки О; его плоскости и оси симметрии называются главными плоскостями и главными осями инерции относительно рассматриваемой точки. Эллипсоид инерции для центра тяжести называется центральным эллипсоидом инерции. В общем случае в каждой точке имеются только три главные оси инерции; если эллипсоид инерции для данной точки является эллипсоидом вращения, то имеется бесчисленное множество главных осей инерции, и все они лежат в его экваториальной плоскости; наконец, если эллипсоид обращается в сферу, то все оси, проходящие через точку, являются для нее главными.

Если эллипсоид инерции для точки О построен, то момент инерции относительно какой-нибудь оси 08 равен \jOP, где Р обозначает точку пересечения оси 08 с эллипсоидом. Из всех осей, проведенных через точку О, наименьший момент инерции получится для той, которая совпадает с большой осью эллипсоида.

319. Условия, при которых ось Oz является главной для точки о. Найдем условия, при которых одна из осей координат, например, Oz является главной осью инерции для точки О. Для этого



необходимо, чтобы уравнение эллипсоида инерции, построенного в точке О, не содержало членов с первой степенью z, т. е. чтобы

D = 0, £ = 0.

2 myz = 0. 2 хг = 0. (3)

Ось г, будучи главной осью инерции для точки О, не будет, вообще говоря, главной осью того же направления для другой точки О, лежащей на расстоянии 00= h от О (рис. 182). Чтобы выразить, что Oz является главной осью также и для точки О, необходимо,

согласно предыдущему, присоединить к уравнениям (3) новые условия

my{z - h) = Q. mx{z - h) = 0, (4)

Рис. 182.

которые получаются, если перенести начало в точку О. Комбинируя эти условия с пре-у дыдущими, мы приведем их к виду

ту = 0, тх = 0,

который выражает, что ось Ог проходит через центр тяжести. Если это геометрическое условие выполняется, то ось z будет главной осью инерции для любой своей точки, и в частности, для центра тяжести, так как условия, которые мы только что установили, будут тогда выполняться при любом h.

Теорема. Главная ось инерции, проходяш,ая через центр тяжести, является главной осью инерции для любой своей точка. Наоборот, есла какая-нибудь ось является главной для двух своих точек, то она будет главной для всех своих точек а будет проходить через центр тяжести.

Очевидно, что если тело имеет плоскость симметрии, то эта плоскость будет главной для каждой своей точки, так как если ее принять за плоскость ху, то каково бы ни было начало координат, будем иметь:

2j mxz = 0, 2j "У - О-поскольку г принимает значения, попарно равные и противоположные по анаку.

320. Замечание. Произвольный эллипсоид не всегда можно рассматривать как эллипсоид инерции. Действительно, если отнести эллипсоид инерции к главным осям, то его уравнение примет вид

ЛХ2+ВК2 + С22= 1,



2 тг2 = 2] ("•* + 3 + °+1)

u2 + «2 -f ги2

Развертывая это выражение и замечая, что согласно выбору осей координат шесть сумм 2 «> 2 "У" ]S 2 "У 2 S "•*>• Рвны нулю, получим соотношение

из которого вытекает

и"- (аЗ Щ -f V"- (62 ЙЗ) ф (с2 Й2) 1 = 0.

Это - тангенциальное уравнение поверхности второго порядка х у2 г2

a-i - ki + Ь- - к"- + с2 -fe2 + 1 = 0. (1)

При изменении параметра k поверхности, представляемые этим уравнением, остаются софокусными. Так как они должны оставаться вещественными, то необходимо, чтобы было меньше наименьшей из величин а, V-, например Л Отсюда следует, что плоскостью, относительно которой момент инерции имеет наименьшее значение, является плоскость ху.

являются моментами инерции относительно осей координат. Отсюда сразу видно, что никакой из этих моментов не может превосходить сумму двух других. Например, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения вокруг малой оси (вытянутый эллипсоид вращения), то большая ось может быть сколь угодно большой. Но если он является эллипсоидом вращения вокруг большой оси (сжатый

У"2 1

эллипсоид вращения), то его сжатость не может превышать .

Ее.™ тело является пластинкой бесконечно малой толщины, лежащей в плоскости ху, то одной из главных осей эллипсоида вследствие симметрии является ось Oz. Допустим, что двумя другими главными осями являются Ох и Оу. Тогда в силу того, что г -О, имеем С = А-В.

Мы увидим (см. упражнения), что для того, чтобы в какой-нибудь точке пространства эллипсоид инерции мог обратиться в сферу, необходимо, чтобы эллипсоид инерции относительно центра тяжести был сжатым эллипсоидом вращения. Тогда на оси вращения будут существовать две точки, расположенные симметрично относительно центра тяжести, для которых будет выполнено указанное условие.

321. Задача Бине. Найти огибающую плоскостей, относительно которых момент инерции имеет заданное значение Mk.

Отнесем систему к главным осям инерции Gx, Gy, Gz центрального эллипсоида, т. е. эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести, и пусть Ма"-, МЬ, Л1с2 -моменты инерции относительно координатных плоскостей.

Момент инерции относительно плоскости

ujc + иу + даг --1 = О

имеет значение





0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0051