Главная Промышленная автоматика.

Таким образом, если система связана механически с внешней средой только посредством соприкасающихся с системой или связанных с ней жесткими связями твердых тел, то потерян-пая энергия равна работе, совершенной системой над внешними телами.

В частности, допустим, что система переходит из рассматриваемого состояния, где ее полная энергия равна ij, в то конечное состояние, в котором ее полная энергия равна нулю, т. е. в состояние, в котором она неподвижна и занимает особое положение (Cq), где П = 0. Тогда предыдущее уравнение примет вид;

Следовательно, энергия, которою обладает система, равна внешней работе, которую она может совершить указанным выше способом, при переходе в состояние, в котором ее энергия равна нулю. Так как y,mv

энергия =----П существенно положительна и имеет минимумом

нуль, то внешняя работа, которую может совершить система, при переходе из рассматриваемого состояния в состояние, где ее энергия равна нулю, является наибольшей из всех, которые она может совершить.

Вследствие этого можно высказать следующие предложения, которые мы заимствуем из статьи Мориса Леви (Maurice Levy, Sur le principe de Ienergie, Gauthier-Villars, 1888):

Полная энергия системы в произвольный момент есть наибольшая полезная работа, которую можно получить, использовав приобретенные скорости и внутренние силы системы.

В этой формулировке предполагается, конечно, как мы это считали выше, что минимум функции П равен нулю.

Кинетическая энергия системы в какой-нибудь момент вре-мени есть наибольшая полезная работа, которую можно получить, использовав только приобретенные к этому моменту различными точками скорости, без использования каких-нибудь действующих на систему внутренних сил.

Потенциальная энергия в какой-нибудь момент времени есть наибольшая полезная работа, которую можно получить.

Работа сил, с которыми система действует на соприкасающиеся с нею внещние тела, есть внешняя работа, совершенная или выполненная системой, и эта работа может быть, вообще говоря, как положительной, так и отрицательной.

Рассматривая движение системы с момента до момента t, мы нащли, что изменение S - энергии равно сумме §g работ внешних сил. Следовательно, имеем также



-,гйг = й(->).

Следовательно, для рассматриваемого случая

*=--•

Эта функция всегда отрицательна, и только при г = 0 она обращается в нуль и поэтому имеет максимум. Примем, тогда

Эта потенциальная энергия везде положительна, за исключением положения, в котором г = 0.

Особым положением (Со) в рассматриваемом случае является, следовательно, то, при котором обе точки находятся в соприкосновении. Кинетическая энергия равна

и полная энергия есть

mv + mv

mffi-\-mv . а/-2

Предположим, что в момент. = О обе точки были неподвижны и находились в соприкосновении. Тогда go = 0. Такое состояние будет продолжаться бесконечно, если не приложить внешних сил. Возьмем теперь обе точки в руки и разведем их на расстояние г,, сохранив их неподвижными. Для этого необходимо будет затратить некоторую работу J". Потенциальная

энергия станет тогда равной -i кинетическая энергия будет равна нулю,

и приращение -g- полной энергии будет равно затраченной внешней работе. Сообщим далее обеим точкам начальные скорости и v,. Для этого потребуется затратить некоторую работу J"", потенциальная энергия сохра-

ннт свое значение -g-, а кинетическая энергия станет равной--.

2 2 mvl

Полная энергия увеличится на величину ---1--g- Равную затраченной

использовав только внутренние силы системы, без использования приобретенными ее точками скоростей.

Когда на систему действуют внешние силы, то говорят, что они являются движущими, если они увеличивают ее энергию, и сопротивлениями, если они уменьшают ее энергию.

Примеры. 1°. Материальные точки, притягивающиеся пропорционально расстоянию. Рассмотрим систему, состоящую из двух свободных точек с массами т и т, притягивающихся пропорционально расстоянию г между ними. Сила их взаимодействия равна -где [л > О, и элементарная работа этой силы есть



)аботе ef". Если после этого система будет предоставлена самой себе, то !)удет постоянно удовлетворяться равенство

mv -\-т V fx./" mvl "1"

Полная энергия будет оставаться постоянной и ее нельзя будет изменить иначе, как приложив внешние силы. Эту полную энергию можно будет использовать, заставив систему производить внешнюю работу до момента, когда обе точки системы вновь будут находиться в соприкосновении и окажутся неподвижными. В этот момент полная энергия обратится в нуль. Работа, которую система может таким образом совершить, равна той энергии, т. е. той работе J" -\- которая была затрачена вначале для сообщения системе ее энергии.

2°. Маятник. Рассмотрим систему, образованную Землей, предполагаемой неподвижной, н математический маятником массы т. Обозначим через г высоту груза маятника над наинизшей точкой окружности, которую он описывает. Внутренними силами системы, образованной Землей и маятником, являются сила притяжения mg маятника Землей и сила, равная и противоположная ей, приложенная к центру Земли. Если маятник поднимается на dz, то работа силы притяжения mg равна -mg dz, а работа силы, приложенной к центру Земли, равна нулю, так как эта точка неподвижна. о \ Следовательно, сумма элемен-

тарных работ внутренних сил равна

- mg dz - - d (mgz). Имеем


Рис. 198.

Ui = - mgz И = mgz.

так что эта функция И положительна при всех положениях маятника и обращается в нуль в точке А (рис. 198), являющейся положением устойчивого равновесия. Если предположить, что в этом положении маятник сначала неподвижен, то полная энергия его в этот момент равна нулю. Чтобы поднять его отсюда на высоту г, надо затратить некоторую внешнюю работу Чтобы после этого сообщить маятнику скорость Vy, надо затратить еще работу J". Если затем предоставить систему самой себе, не прикладывая к ней никаких внешних сил, то ее энергия

mgz:

+ mgzi = 3" + r

будет оставаться постоянной. Эта энергия может быть использована для получения внешней работы путем приведения маятника обратно в его положение равновесия, в котором его скорость в самом начале была равна нулю.

3°. Колебания упругой пластинки. Рассмотрим упругую пластинку, конец которой А зажат неподвижно (рис. 199). Если на систему не действует никакая внешняя сила, то пластинка занимает положение устойчивого равно-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [19] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0059