Главная Промышленная автоматика.

Если перевести систему из положения (С) в бесконечно близкое положение, соответствующее координатам Xi-j-dXj, yi-rdy,,... Zn~\-dZn, то работа §\ внутренних сил увеличится на величину

rffj = 2 2 № dx -\-Yidy-r Zi dz).

Следовательно, сумма элементарных работ внутренних сил есть полный дифференциал некоторой функции Si от координат. Система консервативна.

356. Потенциальная энергия. Механический смысл. Функция

координат n(xi, у„ г,, х, у, .....х„, у„, Zn) = -Ui-\-const

называется потенциальной энергией системы. Эта функция определяется только с точностью до постоянной. Мы будем предполагать, что эта постоянная выбрана так, что потенциальная энергия обращается в нуль в определенном положении (Cq). Тогда значение потенциальной энергии П системы в произвольном положении (С) равно сумме работ внутренних сил при переходе системы из рассматриваемого положения (С) в то особое положение (Cq). в котором П равно нулю.

В самом деле, при бесконечно малом перемещении системы сумма d§i элементарных работ внутренних сил будет

dSi = dUi = - dTl,

откуда, обозначая через oTj работу внутренних сил при переходе из рассматриваемого положения (С) в положение (Cq), получим:

fi- j dn = n -По = П,

так как по предположению IIq равно нулю. Это и доказывает предложение.

Выбор положения (Со), для которого потенциальная энергия условно считается равной нулю, совершенно произволен. Когда среди всевозможных положений системы имеется такое, для которого Ui обращается в максимум, вследствие чегоП = -t/j-f-const обращается в минимум, то обычно это особое положение принимают за полозкение (Со), для которого П обращается в нуль. Тогда для всех остальных положений энергия П положительна. В этом случае положение (Cq), которому соответствует максимум силовой функции Ui, является положением устойчивого равновесия системы при предположении, что на нее действуют только внутренние силы. Это вытекает из теоремы, которую мы докажем ниже.

Если Ui имеет несколько максимумов, то за положение (Со) выбирают то, в котором функция Ui имеет наибольший максимум.



357. Сохранение энергии. На основании сказанного в предыдущем пункте уравнение, выражающее теорему кинетической энергии, если заменить сумму

(Xidx+Vidy + Zidz)

ее значением dUi или -dU., может быть написана в виде (п. 336)

d( + n)=(X,dx+Y,dyZ,dz). (1)

Выражение ----[-П есть полная энергия системы. Оба ее

составляющие члены имеют разную природу. Первый член -

зависит только от скоростей различных точек и не зависит от их положения. Это - кинетическая энергия системы. Второй член II зависит только от положения системы, но не зависит от скоростей. Это - потенциальная энергия. Уравнение (1) выражает следующее: бесконечно малое изменение полной энергии равно сумме элементарных работ внешних сил.

Если обе части уравнения (1) проинтегрировать от момента ti до момента t, то получится

что мы запишем в виде

Изменение энергии системы в течение конечного промежутка времени равно сумме работ внешних сил за этот промежуток времени.

В частности, если на систему не действуют никакие внешние силы, то ее энергия остается постоянной:

y.mv"- /5 mvi \

Это - закон сохранения энергии. Таким образом, если система перемещается без воздействия внешних сил, то ее кинетическая и потенциальная энергии изменяются, но их сумма остается постоянной. Эти два вида энергии, несмотря на их различную природу, преобразуются одна в другую.

Примечание. Допустим, что за единицу работы принят килограммометр. Тогда потенциальная энергия, будучи работой (п. 340), выразится некоторым числом килограммометров. Кинетическая энергия mV-

-2-~ также выразится некоторым числом килограммометров. Следовательно, полная энергия есть некоторое число килограммометров.



368. Механический смысл полной энергии. Пусть li - энергия системы в момент t,. Если к системе не приложено никакой внешней силы, то она все время будет сохранять свою энергию fi-Приложим теперь к ней внешние силы (Xg, Yg, Zg) таким образом, чтобы она перешла из рассматриваемого состояния в конечное состояние, для которого энергия $ равна нулю. Формула (2) представится теперь в виде

&1 - - о) g.

Следовательно, полная энергия системы равна по величине и противоположна по знаку той работе внешних сил, которую они должны произвести, чтобы перенести систему из рассматриваемого состояния в особое состояние, для которого полная энергия равна нулю.

Это особое состояние является состоянием покоя (•у=0) в особом положении (Со), где П равно нулю.

Так как положительно, то работа §g внешних сил, необходимых для осущест-вления указанного преобразования, отри-цательна, т. е. система потребляет работу от внешних тел. Для большей ясности выведем сначала одно непосредственное следствие из уравнения (2).

Допустим, что система испытывает внешние воздействия только через посредство твердых тел, соприкасающихся с системой в одних и тех же точках или связанных с ней жесткими

связями. Тогда внешними силами, приложенными к системе, являются действия (Xg, Yg, Zg) на нее этих твердых тел. Очевидно, 4iO система действует при этом на внешние твердые тела с силами (- Xg, -Yg,- Zg), равными и прямо противоположными силам, действующим на систему. Например, если твердое тело {А) (рис. 197) находится в соприкосновении с системой (5) в точке М, то на систему действует внешняя сила Fg, и наоборот, система оказывает на тело равное и прямо противоположное действие F. Когда система перемещается, обе равные и прямо противоположные силы Fg и F, приложенные к материальным точкам, находящимся в Ж и получающим одинаковые перемещения, совершают равные и противоположные по знаку работы. Следовательно, сумма §g работ всех внешних сил, приложенных к системе, будет равна и противоположна по знаку сумме §g работ сил, с которыми система действует на находящиеся с нею в соприкосновении твердые тела:


Рис. 197.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039