Главная Промышленная автоматика.

очевидно, что г должен заключаться между двумя корнями я и р и может изменяться только от одного из них до другого. Согласно уравнению (1) b всегда изменяется в одном направлении и кривая аналогична той, которую описывает горизонтальная проекция сферического маятника (п. 227, рис. 170).

Необходимо, однако, заметить, что в наших формулах существенно предполагается, что г все время больше, чем /. Если г в какой-нибудь момент времени делается равным /, а затем становится меньше I, то нить не будет натянута, сила Т исчезнет, как если бы k обратился в нуль, обе тяжелые точки станут независимыми и, начиная с этого момента, относительные траектории в плоскости П обратятся в отрезки прямых - „до того момента, пока нить снова не

" натянется и вновь не возникнет

сила Т. В этом случае относительная траектория будет попеременно складываться из дуг кривой (3), когда г > /, и из отрезков прямых, соединяющих эти дуги, когда г <1. Для того чтобы такой случай мог представиться, необходимо и достаточно, чтобы величина I заключалась между корнями а и р многочлена, между которыми изменяется г.

Пример 1П, Найти движение двух тяжелых материальных точек А и В одинаковой массы т, связанных прямым невесомым стержнем длины 21 и вынужденных скользить без трения, одна А - по неподвижной вертикальной оса Ох, а другая В - по неподвижной горизонтальной оси Оу. Внешними силами, приложенными к системе, являются веса mg обеих точек и нормальные реакции Р и Q обеих осей (рис. 196). Так как система имеет полные связи, не зависящие от времени, то достаточно применить теорему кинетической энергии в абсолютном движении. Центр тяжести G системы является серединой АВ, расстояние 0G = I

и угол хОО имеет некоторое переменное значение 6. Координата точки А будет х = 21 cos в, точки В - у = 2/ sin 8, и кинетическая энергия системы

равна 2тР -j • Элементарная работа веса mg точки А равна mgdx или

- 2mgl sin 6rfe, а элементарная работа веса точки В равна нулю. Следовательно, уравнение кинетической энергии будет


Рис. 196.

= - 2mgl sin bdb.

что после интегрирования и деления на 2тР принимает вид

где Л - постоянная. Это уравнение идентично уравнению движения математического маятника длины 21. Движение будет колебательным или круговым в зависимости от того, будет ли h заключено между -1 и -fl или больше 1.

Примечание. Можно также воспользоваться теоремой кинетической энергии в относительном движении вокруг точки О. Кинетическая энергия



относительного движения по отношению к осям Gxy постоянного направления, проведенным из точки G, равна 2тР . Сумма элементарных

работ весов обеих точек Л и В на относительном перемещении относительно этих осей равна нулю, но работа нормальных реакций Р и Q на этом относительном перемещении будет, наоборот, отлична от нуля, так как относительные элементарные перемещения точек А я В для наблюдателя, связанного с осями Gxy, являются дугами окружностей, описанными из G как центра радиусами GA и GB и эти дуги не перпендикулярны к силам Р и Q. Следовательно, если написать уравнение кинетической энергии для относительного движения по отношению к осям Gx и Gy, то оно будет содержать Р к Q. Замечая, что точка А имеет относительно этих осей координаты

х = ; cos 6, у = - / sin е, {А)

а точка В - координаты -х н у и что силы Р и Q имеют проекции (О, Р) и (Q, 0), получим для элементарных работ этих сил величину

Pdy + Qd( - x). Искомое уравнение кинетической энергии будет

""{wj =(Qsin9 -Pcos 0)6.

Реакции Р к Q входят в это уравнение, которое может быть использовано совместно с другим для их определения. Но проще вычислить Р и непосредственно, напнсав уравнение абсолютного движения центра тяжести в проекциях на оси Ох и Оу. Таким путем получаются уравнения:

5 = / cos в, т) = / sin е. Вычислив вторые производные по < от t и т) и заменив ( 1 и

их значениями, взятыми из равенства (4), получим Р и Q в функции 9.

Знаки реакций Р я Q определяют направления этих реакций, которые

на рис. 196 изображены так, как если бы они обе были положительными.

d4 dSr) После вычисления -- я -у- получим: df df

Q = 2ml

P==2ml

sin 8

[dt )

cos 6

-2mg,

cos 9

Ho уравнение (4) после дифференцирования по н сокращения на мно-

житель -тг принимает вид

= -Xsln9.

Подставляя выражения (4) и (5) в формулы для Q и Р, найдем: Q = - да cos 9 (3 cos 9 + 2Л) - mg, Р = sin 9 (3 CQS 9 -f 2h).



Натяжение стержня. Обозначим через Т натяжение стержня. На точку А действуют три силы: ее вес, реакция Р и сила Т, считаемая положительной о1 А к В. Написав уравнение движения точки А в проекции на ось Оу, получим:

О = 7" sin 8 + Р, так как проекция ускорения точки А равна нулю. Отсюда

T = mg (3cos 8 -f 2А).

V. Энергия

355. Консервативная система. Рассмотрим систему, в которой внутренние силы (Х, Kj, Z) зависят только от положений точек

и имеют силовую функцию Uiix, у, г,, х,, Уг, -а.....х, Уп, п),

которую мы будем предполагать однозначной.

Тогда имеем тождественно

2 2 (i dx -\-Yidy- Zi dz) = dUi.

Такой случай встретится, например, когда сила взаимодействия между двумя какими-нибудь точками системы зависит только от расстояния между ними (38).

Если такая функция Ui существует, то система называется консервативной.

Такая система характеризуется тем свойством, что когда она переходит из какого-нибудь положения (Q) в другое положение (Cg), то полная работа внутренних сил не зависит от способа перехода системы из первого положения во второе.

В самом деле, если Ui существует, то сумма работ внутренних сил при переходе из одного положения в другое будет:

/ 2S(i+i-> + i)== / dUi{Ui)2-{Ui),. (С,) (С)

где ((7)2 и (Ui)x - значения функции Ui в соответствующих положениях. Следовательно, работа внутренних сил зависит только от начального и конечного положений (С) и (Cj).

Наоборот, если работа внутренних сил зависит только от начального и конечного положений, то система консервативна и функция t/j существует. В самом деле, возьмем какое-нибудь постоянное положение (Со) и пусть (С)-произвольное положение. По предположению работа Si внутренних сил при переходе системы из (Со) в (С) зависит только от положений (Со) и (С). Работа fi изменяется только в зависимости от выбора конечного положения (С) и является функцией координат Xi, у,, z, х, Уг, Ц.....у, Zn точек системы

в этом положении:

i = f{Xi, Ух, Zx, Хг, Уг, 22.....х, Уп, Zn).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0036