Главная Промышленная автоматика.

Это уравнение получается, если из уравнений движения центра тяжести вывести теорему кинетической энергии. Следовательно, после приведений получаем:

d =iXidx+Yi dy -f Zi dz) -f-

+S S +"y+«

Это уравнение составлено из относительных скоростей и перемещений совершенно так же, как уравнение кинетической энергии составлено из скоростей и перемещений абсолютных. Таким образом, теорема доказана.

Замечание о работах внешних сил. Сумма элементарных работ внутренних сил зависит только от изменений взаимных расстояний между точками и будет одинаковой в обоих уравнениях. Но сумма работ внешних сил не будет одинаковой в обоих уравнениях.

Это вытекает из предыдущих вычислений. В самом деле, мы нашли, что

S S (i dx -Yidy + Zi d2) = S 2 № dx + Yi dy -\- Zi dz),

a это и показывает, что суммы элементарных работ внутренних сил одинаковы как для абсолютных перемещений, так и для перемещений относительно рассматриваемых осей. В то же время мы получили соотношение

Ji{.X,dx + Ygdy + Z,dz) =

= S S (в dx + К, dy + Z, dz) + S 2 (е + Y, dfl + Z, dC),

которое показывает, что суммы работ внешних сил не будут одинаковыми для этих двух видов перемещений. Так, если некоторые тела системы связаны без трения с неподвижными телами, то соответствующие реакции связей будут для системы внешними. Элементарная работа этих сил равна нулю, как это было установлено при выводе принципа возможных перемещений. Этого не будет в общем случае для относительных перемещений по отношению к осям Gxyz (см. пример III, который будет рассматриваться в п. 354).

Доказательство, основанное на теории относительного движения. В главе XXII будет дано простое доказательство теоремы, основанное на теории относительного движения.

352. Наибольшее число независимых общих уравнений. Для абсолютного движения мы получили семь общих уравнений: три для проекций количеств движения, три для моментов количеств движения и одно для кинетической энергии. Применяя теоремы моментов и кинетической энергии для относительного движения вокруг центра тяжести, мы получим еще четыре уравнения. Но эти



уравнения не будут независимыми от семи общих уравнений, а будут, как мы это отмечали, их следствиями. В различных случаях бывает удобнее пользоваться то уравнениями моментов и кинетической энергии для абсолютного движения, то этими уравнениями для относительного движения вокруг центра тяжести.

353. Произвольная часть системы. Выделяя мысленно в материальной системе S определенную часть Р, образованную вполне определенными материальными точками, можно применить к этой части Р семь общих уравнений, если рассматривать как внешние по отношению к части Р силы, с которыми на нее действует остальная часть S-Р системы.

Такое рассмотрение часто полезно для нахождения взаимных действий и противодействий обеих частей 5-Р и Р.

354. Пример I. Тяжелая система в пустоте. Если бросить в пустоте произвольную свободную тяжелую систему, то ее центр тяжести будет описывать napa6ojiy. Проведем через центр тяжести оси с постоянными направлениями, причем ось Gz направим по вертикали вверх. К относительному движению системы по отношению к этим осям можно применить теорему кинетической энергии. Единственными внешними силами будут силы веса, причем проекции веса точки т на подвижные оси равны О, О, -mg. Имеем:

d -= - 2j " rf -Ь 2j Fjk drju-

Но так как начало находится в центре тяжести, то суммы 2 2 равны нулю и, следовательно,

у. mv" d-=2jFjkdrj.

Таким образом, кинетическая энергия в относительном движении по отношению к осям Gxyz из.меняется только вследствие действия внутренних сил. Если система является твердым телом, то относительная кинетическая энергия остается постоянной.

Пример II. Исследовать движение в пустоте двух тяжелых точек А и В одинаковой массы т, связанных друг с другом невесомой и упругой нитью. Пусть длина нерастянутой нити равна 21, и допустим, что когда она вытягивается до длины 2г, ее натяжение пропорционально ее удлинению 2(г - 1):

T = mk"-(r - l).

Когда нить растянута до длины 2го > 21, обе точки брошены в пустоте.

Тогда центр тяжести О, совпадающий с серединой АВ, будет описывать параболу как тяжелая точка.

В относительном движении по.отношению к осям Gxyz постоянного направления, проведенным через G, главный момент Ga относительно точки G количеств относительных движений остается постоянным по величине и направлению (п. 350, пример 5°) н теорема площадей применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей.



Отсюда находим

Qjf + c,y-bC8=o.

Это показывает, что прямая АВ все время остается в некоторой плоскости П постоянного направления, проходящей через G. Эта плоскость, перпендикулярная к Ga, является для относительного движения плоскостью максимума площадей. При этом указанное свойство не зависит от внутренних сил, т. е. от взаимодействия обеих точек.

Примем в таком случае эту плоскость П за плоскость xGy и выберем в ней две оси Gx, Gy с постоянными направлениями. Обозначим через г и 9 полярные координаты точки А в этой плоскости. Координатами точки В будут г и в-f Jt. Уравнение площадей имеет вид

.i=C (1)

Применим теорему кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести. Элементарные работы сил веса равны нулю (пример I). Следовательно, достаточно вычислить работу обеих сил натяжения нити, действующих на точки А и В. Эти натяжения играют роль взаимного притяжения обеих точек и имеют алгебраическое значение -mk{r - I). Обе точки вследствие симметрии имеют, очевидно, одну и ту же относительную скорость v по отнощению к осям Gxy. Следовательно,

df-.--mk{r-l)d{2r),

так как расстояние между точками равно 1г. Интегрируя, получаем:

w2 = F(/-/)2-t-A

ИЛИ, наконец, заменяя v его выражением в полярных координатах, получим:

Оба уравнения (1) и (2) определяют /• и в в функции t. Если желательно найти относительную траекторию одной из этих точек в плоскости П, то достаточно будет исключить из этих уравнений dt. Таким путем получается дифференциальное уравнение траектории

db-- -. (3)

rYhr - kr (г - /)2 - С«

где нужно взять знак -\- или - в зависимости от того, будет ли с возрастанием в величина г также увеличиваться или, наоборот, уменьшаться.

При начальном значении Го > I многочлен, стоящий под корнем, положителен. Так как при г = О и при г = оо этот многочлен отрицателен, то

5 Зак, 922, п. Аппель, т. II

Если через х, у, г обозначить координаты точки А, то координаты точки В будут -х, -у, -г и теорема площадей выразится тремя уравнениями:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039