Главная Промышленная автоматика.

В сокращенной модели будет также

PjSh.

Подобие в геометрии. Рассмотрим некоторую геометрическую фигуру А и построим подобную ей фигуру а. Пусть, например, А будет статуя, а а - ее уменьшенная репродукция. Если L - длина какой-нибудь линии в Л, а длина соответствуюшей ей линии в а, то отношение

называется отноигением (коэффициентом) подобия.

Так, полагая, что отношение подобия -j. говорят, что статуя а есть модель статуи А, уменьшенная в десять раз.

При этих условиях, если 5 есть плошадь какой-нибудь части поверхности в А, а s-площадь части соответствующей поверхности в а, то

Точно так же, если Р -объем некоторой части А и р - соответствующий объем в а, то

Отсюда следует, что если в А при произвольно выбранной единице длины существует зависимость

/(/-1. 4.....S„ S,, Pl. P, ...)=: О (1)

между некоторыми длинами L,, ..... некоторыми площадями

. .. и некоторыми объемами Р,, Р,.....то в фигуре а будет существовать между соответствующими длинами, площадями и объемами I,, I,.....s,, $2, .... р,, Рг- • • • же самая зависимость

f(h к.....s„ $2, А, Р2, ...) = 0. (2)

В самом деле, если зависимость (1) справедлива при любом выборе единицы длины, то она должна быть справедливой, если эту единицу уменьшить или увеличить в X раз. Следовательно, по правилам однородности

f(lL,. xi2, .... l?S„ х252.....XPi, хзр2, .. .) = 0,

что в точности совпадает с зависимостью (2).

Так, в пирамиде объем Р есть одна треть произведения основания 5 на высоту Н:

PisH.



dT dT dT

Подобие в кинематике. Пусть материальная система движется относительно неподвижного прямоугольного триэдра OXYZ. В момент Т эта система образует с триэдром OXYZ геометрическую фигуру А, изменяющуюся вместе с Т.

Вообразим теперь другую систему, движущуюся относительно неподвижного прямоугольного триэдра Oxyz и удовлетворяющую следующим условиям: между двумя моментами t н Т можно установить такую зависимость

i = fiT),

что в момент t вторая система образует с триэдром Oxyz фигуру а, подобную той фигуре А, которую первая система образует в момент Т с триэдром OXYZ, причем отношение подобия x обеих фигур постоянно.

При этих условиях обе системы проходят через последовательность положений и форм, которые между собой геометрически подобны.

Говорят, что оба движения кинематически подобны, если зависимость между соответствующими моментами t и Т, когда обе системы а и А подобны, имеет вид

t - t = z(T-T),

где т - постоянная, а и Tq - два соответственных момента времени.

Тогда существует два постоянных отношения подобия, одно А для длин, другое х - для времени.

Траектории двух соответственных точек. Пусть Р и р - положения двух соответственных точек фигур А н а в соответственные моменты Т и t, а Pq и - их положения в моменты Гц и t. Дуги PqP и PqP траекторий обеих точек подобны и их отношение подобия равно x. В самом деле, согласно сделанным предположениям два радиуса-вектора ОР и Ор в соответственные моменты Tut одинаково ориентированы относительно триэдров OXYZ и Oxyz и их отношение равно \. Следовательно, Р н р описывают подобные дуги, причем длины L и I дуг PqP и PqP находятся в отношении x:

Скорости и ускорения двух соответственных точек. Пусть V п V, Г и Y--скорости и ускорения двух соответственных точек Р н р в моменты Tut. Проекции векторов V и Р на оси OXVZ соответственно равны

dX dY dZ dT dT dT

d-X dW d-Z



dt •

Так как

x = \X, y = lY, г = Х2. dt = xdT.

TO мы видим, что векторы V и Г с одной стороны и векторы v и Y с другой стороны подобно расположены в обеих фигурах А и й в соответственные моменты и их длины связаны соотношениями

т = .г.

Применение принципа однородности показывает, что если в первом движении существует между длинами, площадями, объемами, скоростями и ускорениями какое-нибудь соотнощение, не зависящее от выбора единиц длины и времени, то такое же соотношение будет существовать и во втором движении.

Подобие в механике. Рассмотрим две кинематически подобные материальные системы и допустим, что масс-ы т я М двух соответственных частей обеих систем находятся в постоянном отношении ]х:

одинаковом для всех масс системы. Тогда обе системы механически подобны.

Пусть F и /-силы, действующие на две соответственные частицы обеих систем в моменты Т я t, М н т - массы этих частиц, Г и Y - их ускорения. Тогда имеем

Следовательно, обе силы подобно расположены в обеих системах. С другой стороны, их отношение постоянно;

L - H JL -!fl р - М V -~ хч-

Следовательно, если через tp обозначить постоянное отношение гомологических сил в моменты и Г, то

Т = (3)

Это фундаментальное для теории подобия в механике соотношение показывает, что три из четырех отношений подобия X, т, \х, tp могут быть выбраны произвольно, но четвертое будет тогда определяться зависимостью (3).

где через X, Y, Z обозначены координаты точки Р относительно осей OXYZ. Точно так же проекции векторов v а т оси Охуг равны

(v) (Т)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157

0.0038