Главная Промышленная автоматика.

вовможность получения для солнечной системы неизменяемой плоскости. Лаплас, определив эту неизменяемую плоскость, вычислил величины А, В, С в предположении, что планеты заменены точками, находящимися в их центрах тяжести. Пуансо дополнил вычисления Лапласа, добавив члены, вызванные вращениями планет вокруг своих собственных осей. Впрочем, эти члены имеют малое влияние на окончательный результат (см. Р о i п s о t. Elements de Statlstique, 5-е edition, note).

Эти выводы сохраняются и в том случае, если не пренебрегать действием звезд. В самом деле, расстояния звезд от различных точек, образующих солнечную систему, настолько велики по сравнению с размерами системы, что силы притяжения звездами различных точек системы почти параллельны между собой и пропорциональны массам этих точек. Вследствие этого указанные силы притяжения

образуют систему векторов, эквивалентную одному вектору, приложенному в центре тяжести G системы, и их главный момент относительно О равен нулю. Следовательно, главный момент Оо относительно О количеств относительных движений остается постоянным по величине и направ-:У лению.

4°. Движение тяжелого стержня в пустоте. Пусть тяжелый стержень АВ (рис. 195), рассматриваемый как материальная прямая, брошен в пустоте. Центр тяжести G описывает параболу. Если через эту точку провести оси Qx, Gy, Oz постоян-р ного направления, то сумма моментов

укс. 1У0. внешних сил относительно каждой из

них равна нулю, так как внешними силами являются веса, которые имеют равнодействующую, приложенною в G. Следовательно, для относительного движения по отношению к осям х, у, г можно написать три интеграла (3) и (4). Пусть р - точка стержня, расположенная на расстоянии, равном единице, от точки О в каком-нибудь определенном направлении, а, Ь, с - ее координаты относительно осей Gxy г, т - точка, находящаяся на расстоянии г от О, причем г положителен или отрицателен в зависимости от того, имеет ли Got тот же знак, что Gp или противоположный. Координатами точки т являются

х = га, у = гЬ, г = гс, dx da dy dJb dz .dc dfdf dt dt

Следовательно, из интеграла (3) получаем:




Умножая на с, а, b к складывая, получим уравнение Аа + ВЬ-\-Сс = О,

показывающее, что точка р остается в неподвижной относительно осей Gxyz плоскости 11, перпендикулярной к вектору Ga, имеющему проекции А, В, С. Это - плоскость максимума площадей. Точка р и все остальные точки стержня описывают окружности с центром в G. Так как закон площадей применим также и к плоскости П, то стержень вращается в этой плоскости вокруг G с постоянной угловой скоростью.

5°. Тяжелая изменяемая система. Если произвольную тяжелую систему бросить в пустоте, то ее центр тяжести будет описывать параболу. Если через этот центр G провести оси постоянного направления, то суммы моментов внешних сил относительно этих осей будут равны нулю. Поэтому сумма моментов количеств относительного движения будет оставаться постоянной относительно любой оси, проведенной через G, и закон площадей будет применим относительно точки О для проекции относительного движения на любую плоскость с постоянным направлением, проведенную через G. Вектор Ga будет постоянным по величине и по направлению.

Если, например, человек делает сальто, то он вначале сообщает себе некоторую угловую скорость относительно горизонтальной оси Gz, проведенной через его центр тяжести. Если бы тело было твердым, то эта угловая скорость сохранялась бы и дальше и была бы недостаточна для сообщения телу полного оборота на 360° до того, как оно опустится на пол. Но после прыжка человек сжимает свое тело, его момент инерции относительно оси Gz уменьшается, и так как сумма моментов

количеств движения """" должна оставаться постоянной, то узловая

скорость увеличивается и становится достаточной для того, чтобы стал возможным полный оборот до падения.

В этом примере человек обладает начальной угловой скоростью, которую он увеличивает при помощи внутренних сил. Но он мог бы, прыгнув без начальной угловой скорости, тоже заставить себя повернуться на некоторый угол в пространстве. В этом можно убедиться из примеров, рассмотренных в пункте 333. Так, человек, которому сообщили в пустоте поступательное движение, может повернуться при помощи действий, аналогичных указанным в конце пункта 333 действиям наблюдателя, стоящего на идеально гладкой горизонтальной плоскости. Именно эти рассуждения объясняют, как кошка поворачивается при падении без всякой внешней помощи.

351. Теорема кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести. Теорема кинетической энергии установлена нами для абсолютного движения системы. Она остается справедливой и для движения по отношению к осям, которые совершают прямолинейное равномерное движение. Но ее нельзя без изменения применять к движению относительно осей, совершающих произвольное

где сумма тг\ распространенная на все точки стержня, есть момент инерции относительно точки G.

Точно так же два интеграла (4) приводятся к виду



движение. Однако всегда существует специальная система подвижных осей, по отношению к которым теорема сохраняется без всякого изменения формулировки. Это - оси постоянного направления, проведенные через центр тяжести. Справедлива таким образом следующая теорема:

Так же как и теорема моментов количеств движения, теорема кинетической энергии применима к относительному движению системы по отношению к осям постоянного направления, проходящим через центр тяжести.

Мы докажем эту теорему при помощи совместного применения уравнений движения центра тяжести и уравнения кинетической энергии в абсолютном движении. Поэтому уравнение, которое получится, будет следствием общих уравнений, установленных в разделах I и II.

Уравнение кинетической энергии в абсолютном движении имеет

dmv(.X,dx+ К, dy + Ze dz) +

-iXdx+Yidy-i-Zidz). (5)

Сделаем в нем преобразование координат

x=k-\-x, y = 7i-i-y, z-\-z.

Мы видели, что если обозначить через V скорость центра тяжести О, а через v относительную скорость частицы т по отношению к осям Qxyz, то по теореме Кёнига (п. 349),

\rnv--\mV-mv\

С другой стороны,

dx = d%-\-dx, dy dTi-\-dy, dz r= d--dz. Следовательно, уравнение (5) принимает вид

d-d =s S +y++

-\-iX,dx -\-Y,dy -\-Z,dz)-\-d%[Xi-\-X,]-r

+,{2 s +S S 4+MS S +S Se}-

Ho суммы 22i. SSi- SSi равны нулю в силу закона равенства действия и противодействия. Далее, имеем:

= SSa+.SSK.+:SSz,.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004