Главная Промышленная автоматика.

d I дТ \

dt ( dq[ ) dqi

в которых нет никаких реакций связей. Так как резкие изменения скоростей вызываются исключительно реакциями связей, становящимися очень большими в течение очень короткого промежутка времени t, - tg, то величины Ql, Q2, .., Qn. происходящие исключительно от непосредственно приложенных обыкновенных сил, таких, как сила тяжести и др., остаются конеч-

ными в промежутке t, to. Величины остаются также конечными.

Следовательно, если умножить обе части уравнений (4) на dt и проинтегрировать в пределах от ™ поскольку величина t, - to очень мала,

интегралами, содержащими и Qi, можно пренебречь. Получим п урав-

нений

являющихся линейными и однородными относительно k разностей

(9i)i-(0o. (92)1-(2)0..... {4k)i-{4k)<y

В уравнениях (5) величины q,, 92.....qk имеют значения, соответствующие моменту удара, так что 9n+i. Яп+2> > Як равны нулю; но необходимо

заметить, что производные Яп+v Яп+2.....Як будут обязательно равны

нулю ни до удара, ни после него; они будут равны нулю после удара лишь в том частном случае, когда наложенные связи являются сохраняющимися; тогда из п линейных ураЕнений (5) получим значения величин

:ле удара. В других слу

т. е. найдем скорости после удара. В других случаях мы будем иметь для определения k неизвестных

Но если желательно, чтобы, сверх того, перемещение было допускаемо внезапно наложенными новыми связями, то необходимо, согласно уравнениям (1), принять

В9„+1 = 0, Ц„+2 = 0..... bqk = 0. (2)

оставляя bq, В92, bq„ произвольными.

Уравнения движения системы в промежутке времени t -о- согласно принципу Даламбера и преобразованию Лагранжа, выражаются формулой

l\Hfr]-b.-%bqi. (3)

JTi L \ Чг j dqi J

Если bqi произвольны, то правая часть, представляющая собой сумму возможных работ приложенных к системе сил, содержит реакции новых наложенных связей; однако эти последние реакции связей можно исключить, рассматривая возможные перемещения, допускаемые всеми связями, имеющими место в момент удара, т. е. предполагая bq,, bq,, bqn произвольными, а bqn+t, S9„+2, bqu равными нулю. Тогда уравнение (3) распадется на п следующих уравнений:

-4 = 0i {1=1,2.....п), (4)



только п уравнений и тогда, так же как и в случае удара не вполне упругих тел, необходимо будет сделать дополнительные предположения о поведении системы после удара.

Правило. Резюмируя изложенное, можно сказать, что уравнения (5) выражают следующее правило.

Частные производные от Т по производным от тех параметров, которые не обращаются в нуль в момент удара, имеют одинаковые значения до и после удара.

Пример I. Прямой удар двух шаров. Рассмотрим два шара, радиусы которых /?1 и /?2 и массы т, и «2. Их центры движутся по неподвижной прямой Ох. Предполагается, что оба шара совершают поступательное движение. Обозначим через х, и х абсциссы центров обоих шаров; положение системы зависит от двух параметров х, и Xoi в момент удара внезапно накладывается новая связь, выражаемая уравнением

Хо - Xi - R - Ri = о,

обозначающим, что расстояние между центрами равно сумме радиусов. Для определения положения системы примем за два параметра

qi=Xi и qo = Хо, - X, - Ro,-- R,,

так что внезапно введенная связь выражается уравнением qo, = 0. Тогда

Т = (т,х, -Ь т.2 ) = -2 \m,q, + т [q, + q,)]. Из предыдущей теории имеем единственное уравнение

\dqji \dqJo

так как ft не обращается в нуль в момент удара, между тем как ft по условию обратится в нуль. Выполнив вычисления, получим

[(ft)i - (Оо] + -2 Ы\ + (Oi - - (?0о] = 0.

Это - единственное уравнение, которое дает нам теория. Оно выражает, что сумма проекций количеств движения иа ось Ох не изменяется. Чтобы закончить определение (q[), и (ft)i. необходимо сделать дополнительные предположения, как в п. 510.

Пример II. Круглый однородный диск радиуса R и массы М движется в вертикальной плоскости хОу. В момент он наталкивается на неподвижную ось Ох, после чего он может лишь катиться по этой оси. Определить скорость диска после удара.

Положение системы до удара зависит от трех параметров: от координат л: и у центра тяжести диска и от угла 6, на который он поворачивается в Отрицательную сторону от оси Оу к оси Ох. В момент удара вводятся две новые связи:

1) диск остается в соприкосновении с осью Ох и, следовательно,

у = /?,

2) диск катится по оси Ох и, следовательно, х = Rb, если подходящим образом выбрано положение начала.

Мы примем в качестве параметров



Единственным параметром, который вновь наложенными связями не обращается в нуль, является q,. Следовательно, имеем единственное уравнение

= 0,

(О. - - +Ш+{я[\ - (?0о=о-

Но 98 остается равным нулю, следовательно, {q, = О и, возвращаясь к прежним переменным х, у, 8, получим

/ / r.. , . Px; + feX

(х;-рв;)+х-О, х[= k-pi

где индексами О и 1 помечены начальные и конечные значения производных х, у, 6.

Эта формула выражает конечную скорость центра диска при его качении. Если, например, движение таково, что в момент удара

то диск остановится.

523. Замечания о неголономных системах. Полученные результаты распространяются и на неголономные системы. Это вытекает из следующего.

Хотя уравнения Лагранжа неприменимы к конечным движениям этих систем, их уравнения движения можно написать в виде

где Ri - функции от q и q (п. 464).

Следовательно, если умножить обе части этих уравнений на dt и проинтегрировать в промежутке от ДО <i. в течение которого длится удар, то интегралами, содержащими Ri и Qi, можно будет пренебречь и по-прежнему получатся п уравнений

совпадающие с уравнениями (5). [См. статью Бегена (Beghin) и Руссо (Rousseau) в Journal de Jordan, 1903.]

так что вновь накладываемые связи выражаются уравнениями = О и 3 = 0. Имеем

где jMfe* есть момент инерции диска относительно центра. В новых параметрах





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [148] 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0041