Главная Промышленная автоматика.

Q = у 2 mwi + Pw cos (Р, w).

Такова теорема Г. Робена (О. Robin, Comptes rendus des seances de IAcademie des Sciences, т. CV, стр. 61).

Чтобы ее доказать, обозначим через а, Ь, с проекции удара Р; тогда в предыдущих обозначениях величина Q напишется так

Q = 12;«[(л-; - xj -f (у; у;) -f zj ]+

+ St (""о - -i) + * (Уо - уО + (0 - 0]-

Нужно показать, что, задав произвольные допускаемые связями вариации Ьх[, byj, bz[ проекций х[, у,, г, скорости каждой точки в конце удара, мы получим

6Q = 0.

ьр = У[т{х[-хо)Ьх[+т{у[-уо)Ьу[ +

-\-m(z[ - zo) bz[ - аЬх[ - ЬЬу[ - сВг].

к действительному перемещению Ьх х[ dt. By = у[ dt, bz = z[ dt, которое последует за ударом, так как это перемещение допускается связями, существующими в момент удара. С помощью вычислений, аналогичных произведенным в предыдущем пункте, мы найдем:

mvl-mvl = jmw (ах[ + Ьу[ + cz[).

Так как а, Ь, с являются проекциями одного из заданных ударов Я, а х,, ур z, - проекциями в конце удара скорости его точки приложения, то

ах, -j- by[ -\- cz[ = Pv, cos (P, v,). Мы получаем, таким образом, следующую теорему.

Есла на систему внезапно накладываются сохраняющиеся связи и одновременно прилагаются удары Р, то потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, уменьшенной на, сумму произведений каждого удара Р на проекцию на этот удар конечной скорости точки его приложения в конце удара.

Если не все связи, существующие в момент удара, сохраняются после него, то предыдущую теорему можно применить при условии причисления к заданным ударам Р ударов связей, вызываемых теми связями, которые не сохраняются после удара. Действительно, можно считать, что связи не существуют, если при расчетах принимать во внимание вызываемые ими удары.

521. Теорема Г. Робена. Рассмотрим снова систему, в которую внезапно вводятся новые сохраняющиеся связи и к которой одновременно прикладываются заданные удары Р.

Среди бесчисленного множества значений, которыг могут принимать в соответствии со связями скорости точек в конце удара, действительные значения, которые они принимают, обращают в минимум величину



l.mwPv, cos (Pxv,).

Согласно предыдущей теореме этот минимум равен потерянной кинетической энергии.

По поводу этой теоремы можно указать на две заметки А. Майера, напечатанные в Berichte der Konigl. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig (3 Juli 1899).

V. Применение уравнений Лагранжа в теории удара

522. Уравнения. В Messenger of Mathematics (т. IV, 1867) Нивен показал, как можно использовать в теории удара уравнения Лагранжа. Тот же вопрос исследовал и Раус (Rigid, Dynamics, т. 1). Метод, которому следовали эти авторы, может быть усоверщенствован, так как уравнения, которые они предлагают, содержат еще удары связей, происходящие от новых связей, накладываемых в момент удара. Следовательно, эти уравнения не вполне соответствуют цели, которую преследовал Лагранж и заключающейся в получении уравнений, не содержащих реакций связей. Вот как может быть достигнута эта цель.

Рассмотрим движущуюся голономную систему со связями без трения, положение которой определяется k геометрически независимыми

параметрами д,, до,.....ди- Кинетическая энергия Т этой системы является

функцией второй степени производных д,, д,.....д,, от д,, до......ди по

времени. В заданный момент "а систему внезапно накладываются новые связи. Движение будет тогда нарушено и за очень короткий промежуток времени t, - скорости различных точек системы изменятся на конечные

Заметим теперь, что общее уравнение (2) удара имеет вид 2 [т {4 - 4) Ьх + т {у[ - у;) Ьу +

+ т(г[-{-4)Ьг -аЬх - ЬЬу - сЬ2]==0. (6)

Оно справедливо для любых возможных перемещений, допускаемых связями, существующими в момент удара, но так как в рассматриваемом случае связи являются сохраняющимися, то оно будет справедливо для конечного действительного перемещения

bx==x[dt, by = y[dt, bz = z[dt. (7)

Пусть х[ -f- Ьх[, у[ + Ьу[, z[ -f bz[ - другие допускаемые связями возможные значения проекций скорости точки т в конце удара. Перемещение

bx = {x[ + bx[)dt, by(y[ + by[)dt, bz{z[+bz[)dt (8)

также допускается связями.

Заменим в общем уравнении (6) величины Ъх, Ьу, bz этими двумя системами значений (7) и (8) и вычтем почленно два полученных таким образом уравнения одно из другого. Тогда в точности получится то равенство 5Q = О, которое нужно доказать.

Примечание. Вычитая из Q наперед известную величину

мы видим, что смысл теоремы Робена заключается в том, что для действительного перемещения должна обращаться в минимум величина



%-n(ft. ft.....ft) = 0.

Если сделать замену переменных, приняв в качестве новых параметров вместо ft+i, ft+2.....ft величины

Гп+1 = Ч1{Чъ ft, qu), rn+2 = 92{qb ft. ft).

Гк = n-n (ft. ft.....ft).

TO новые наложенные на систему связи выразятся, очевидно, соотношениями «+1 = 0, г„+2 = 0, Г4 = 0.

Мы будем предполагать, что такой выбор переменных действительно выполнен, так что новые связи выражаются уравнениями (1).

После удара переменные ft+i, ft не будут равны нулю, если введенные связи являются временными, и они останутся равными нулю, если эти связи постоянные.

Для получения возможного перемещения системы, допускаемого связями,

существовавшими до удара, достаточно придать параметрам q,, ft.....ft

произвольные вариации bq,, 6ft, 5ft.

*) Мы ограничимся .здесь наиболее простыми случаями. Подробный анализ наиболее общего случая можно найти в работе, помещенной в Journal de Mathematiques, 1896 (1-er fascicule).

величины, между тем как система не изменит существенно своего положения. С аналитической точки зрения величины q,, q, ft, определяющие скорости, за очень короткий промежуток времени - изменяются весьма резко от значений

(9i)o- (2)0.....{чк)о

до значений

(i)i (Oi.....i4k)v

между тем как величины ft, ft,..., ft, определяющие положение, не изменяют существенно своих значений. Мы рассматриваем только первое приближение, считая, что промежутком - можно пренебречь, и предполагая, что ft изменяют свои значения внезапно, а величины ft остаются неизменными. Мы допускаем, кроме того, что новые накладываемые в момент удара связи также являются связями без трения. Однако эти новые связи могут быть как временными, так и постоянными, т. е. после удара они могут исчезнуть, но могут и сохраниться. Первоначально наложенные на систему связи предполагаются сохраняющимися; они будут существовать после удара *).

Переменные ft, ft, ..., ft можно всегда выбрать так, чтобы вызывающие удар новые внезапно накладываемые связи выражались уравнениями

?„+1 = о, ft+2 = o.....ft = 0 О)

где п - некоторое целое число, меньшее чем k. В самом деле, новые внезапно наложенные на голономную систему k - п связей выражаются соотношениями вида

41 (Чь ft.....ft) = 0,

f2(ft. ft.....ft) = 0.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [147] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0035