Главная Промышленная автоматика.

Можно непосредственно убедиться, что коэффициент при т в уравнении (4) равен (У - v-\-wy Окончательно это уравнение приводится к виду

Таким образом, теорема доказана.

Кинетическая энергия -i- mw называется кинетической энергией потерянных скоростей.

Приложения теоремы Карно. Теорема Карно играет в теории удара такую же роль, как теорема кинетической энергии в динамике. Она вполне определяет состояние скоростей после удара, если первоначальные и внезапно наложенные связи являются сохраняющимися и число их таково, что система обращается в систему с полными связями.

Прежде чем рассмотреть некоторые приложения теоремы Карно, найдем формулы для вычисления кинетической энергии потерянных скоростей твердого тела, движущегося вокруг неподвижной оси или неподвижной точки.

Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной оси. Обозначим через Mk" момент инерции тела относительно неподвижной оси, принятой за ось Oz, и через и «i - угловые скорости вращения тела в моменты и ti, когда на»и1нается и когда кончается удар. Точка т тела имеет в момент 0 скорость, перпендикулярную к плоскости mOz и равную Г(Од, где г обозначает расстояние от точки т до оси вращения Oz. В момент скорость этой точки станет равной па, и сохранит то же направление. Векторная разность W = Vp - v,, или потерянная скорость, будет равна по абсолютной величине г (о>о - «>{). Кинетическая энергия, соответствующая этой

потерянной скорости, будет равна для точки тг" {а - (ti,)\ а для всего

тела

i 2 тг2 («о «1)2 = 1 Mk-i (<оо -

Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки. Пусть О - неподвижная точка, Oxyz-главные оси инерции в этой точке я А, В, С - соответствующие моменты инерции. До удара тело будет совершать мгновенное вращение с составляющими угловой скорости по осям Oxyz, равными Pq, qg. Го, а после удара оно будет совершать мгновенное вращение с составляющими р,, q,, г,. Проекции скорости Vq точки т(х, у, z) равны - гу, Гох - PqZ, Роу - qx и кинетическая энергия до удара равна (п, 383)

42" ~ оУ)" + (" Р + РоУ - 9ох)-] =

= :L(Apl + Bql + Crl). {5)

Точно так же получаем проекции скорости точки т и конечную кинетическую энергию (Ар1 +Bql-\-Crf). Проекции потерянной



скорости И) равны разностям проекций скоростей Vo и v,:

{Qo-90г -(Го -г,) у, (Го -г,)х - (Ро -р,)г. (Ро - Pi) У - (9о -9i) -

После этого кинетическая энергия потерянных скоростей получится из равенства (5) заменой в нем величин ро, до, Го величинами ро-рх, до - ди

mwlA (Ро -piT + B (до - ,)2 +С(Го- пП

Первый пример. Баллистический маятник. В баллистическом маятнике удар происходит вследствие внезапно накладываемо1 связи, которая принадлежит к типу сохраняющихся. Теорема Карно может быть приложена. Пользуемся теми же обозначениями, что и в п. 513.

До удара маятник неподвижен; следовательно, кинетическая энергия

(о, "и скорость снаряда системы будет равна

«"о

системы равна кинетической энергии -2~ снаряда.

После удара угловая скорость маятника будет будет ат; следовательно, кинетическая энергия

{maV + МкЩ

Вычислим, наконец, кинетическую энергию потерянных скоростей. Потерянная скорость снаряда равна Vo - aui,, так как его скорости до удара и сразу же после него имеют одинаковые направления. Следовательно, кинетическая энергия потерянных скоростей снаряда равна -m(Vo - au>i)K Кинетическая энергия потерянных скоростей маятника на основании при-веаенной выще оЗщей формулы равна - ("о -i)- в рассматриваемом случае юд = О и это выражение приводится к Mka. Написав,

что потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, получим

mvl- таи>1 - Мкч>\ =


= т {уо - в(0У 4- М1г

2,.,2

Рис. 273.

Из этого уравнения после сокращения получаем для значение, найденное в п. 51.. Второй пример. Два ролика (рис. 273), имеющие радиусы R и R, вращаются вокруг параллельных осей О и О с угловыми скоростями, алге-бра1Тческие значения которых, отсчитываемые в одном и том же направлении вращения, равны (Oq и Мд.

На оба ролика намотана ненатянутая нить. В некоторый момент нить натягивается, вследствие чего происходит удар. Требуется найти новые углоиые скорости, которые приобретут ролики, предполагая, что нит» после удара остается натянутой.

Если мы обозначим через jj, и fj. моменты инерции роликов относительно их осей, то потерянная кинетическая энергия системы равна



откуда находим Мы видим, что если

= А(ра- а»!) + В{до- + С (/"о - Т»!)

1 Аа.ч-\- Вр-

Ароа + Вдо? + Сгот = о,

т. е. если направления вектора ю (ро, до, го) и оси 00 (а, р, f) являются для эллипсоида инерции сопряженными направлениями, то Ш1 = 0. Тело после удара станет неподвижным.

520. Распространение теоремы Карно на случай, когда имеются заданные удары. Допустим, что в тот момент, когда вводятся сохраняющиеся связи, к телу прикладываются также заданные удары Р,, Р, Р„ с проекциями а„ Ь,, с.,. Тогда можно применить общее уравнение (2)

Кинетическая энергия потерянных скоростей равна

Y р. («о - + -i>- {% - «О*-Следовательно, по теореме Карно имеем

или, упрощая,

[ЛВо«1 + fj. ШдМ = (10) -f jlgCOj .

Но так как нить остается натянутой, то

Из двух последних уравнений находим искомые угловые скорости:

R (txPa>o + (лЛа>;) , R (fj.R,00 +

ю, =----- , (о, = --- .

,R + nR IxR + lxRi

Третий пример. Представим себе, что твердое тело движется вокруг неподвижной точки О, и допустим, что в нем внезапно закрепляется вторая точка О, так что после этого тело может только вращаться вокруг оси 00. Найдем конечную угловую скорость вращения вокруг оси 00.

Так как добавляется связь сохраняющаяся, то можно применить теорему Карно. Примем за оси Oxyz главные оси инерции тела в точке О. Обозначим через А, В, С главные моменты инерции и через р, до, Га - составляющие мгновенной угловой скорости до удара, являющиеся известными величинами.

Обозначим, кроме того, через а, р, f направляющие косинусы оси 00 относительно осей Oxyz; эти величины известны, так как точка О, которая внезапно закрепляется, представляет собой определенную точку тела. Конечная угловая скорость вокруг оси 00 имеет следующие составляющие по осям координат:

Pl = ««"г, gi = г, = -f(ui.

Написав, что потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, получим

Лр1 + Bgl + Crl - Uo. -f Bf + С/)=





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [146] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.004