Главная Промышленная автоматика.

ударов без трения, играющим такую же роль, как и общее уравнение динамики (п. 431). Это уравнение распадается на несколько разных уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы, допускаемых связями, имеющими место в промежутке времени --о-Замечание об ударах связей. Мы допустили, что если связи без трения, то сумма работ ударов связей на допускаемых ими возможных перемещениях равна нулю. Легко проверить это свойство так же, как мы это делали в п. 162 для реакций связей. Оно вытекает из того, что удары связей происходят от реакций связей, действующих в промежутке времени -q. Например, если два тела, S и находятся в соприкосновении без трения, то реакции связей нормальны к общей касательной плоскости, равны по величине и противоположны по направлению. Отсюда следует, что и удары, вызванные этими силами, также нормальны к общей касательной плоскости, равны по величине и противоположны по направлению. В самом деле, обозначим через а, р, f направляющие косинусы общей нормали к обоим телам в точке касания и через N-реакцию тела S на тело S. Проекции реакции N будут Na, /Vp, N-. В течение времени - tQ реакция N становится очень большой и порождает удар, проекции которого равны t, t, t,

J Nadt, J Ndt, j Nf dt.

to to t„

Ho так как во время удара тела заметно не перемещаются, то а, Р и 7 можно рассматривать как не зависящие от и написать эти проекции таким образом:

<. t, t,

а N dt. j N dt, j N dt.

to to 0

Удар связи S на тело S есть вектор Р, нормальный к общей каса-тельной плоскости, величина которого равна J N dt. Точно так же

удар связи S на S есть вектор Р, равный и противоположный вектору Р, так как его проекции получаются из предыдущих, если переменить в них знаки. Тогда на перемещении, допускаемом связью, сумма работ ударов связи Р к Р равна нулю. Аналогичным образом производится проверка и для других типов связей.

517. О связях, существующих в момент удара. Связи, существующие в момент удара, могут быть двух видов: связи сохраняющиеся и связи не сохраняющиеся. Мы будем называть связь сохраняющейся, если она, существуя в момент удара, будет существовать и непосредственно после него, так что действительное перемещение, которое последует сразу же после удара, будет допускаться этой связью. Наоборот, связи не сохраняющиеся - это такие, которые.



существуя в момент удара, не будут существовать после него; действительное перемещение, которое возникнет после удара, не будет принадлежать к числу перемещений, допускаемых этой связью.

На основании этого, все связи, существующие в момент удара, подразделяются на следующие друг друга исключающие категории:

1) связи, существующие до, во время и после удара;

2) связи, возникающие во время удара, сохраняющиеся после него, но не существовавщие до удара;

3) связи, существовавшие до удара, сохраняющиеся во время него, но после удара не сохраняющиеся;

4) связи, существующие только во время удара, но не существовавшие до него и не сохраняющиеся после него.

Первые две категории содержат сохраняющиеся связи, а две остальные - связи не сохраняющиеся.

Например, в задаче о баллистическом маятнике последний вращается вокруг неподвижной оси; эта связь (ось) существует до удара, во время удара и после него. Снаряд, вначале независимый от маятника, внезапно соединяется с ним в одно тело; таким образом получаем новую связь, внезапное наложение которой и вызывает удар. Эта связь существует во время удара и после удара, но не существовала до него. Действительное перемещение, которое следует после удара, допускается связью, наложенной в момент удара.

Возьмем в качестве второго примера прямой удар двух шаров. Удар происходит вследствие того, что оба шара, вначале друг с другом не связанные, приходят внезапно в соприкосновение. Следовательно, в систему внезапно вводится новая связь. Эта связь не существует до удара; она сохраняется, если шары абсолютно неупругие, так как тогда шары останутся в соприкосновении; она не сохраняется после удара, если шары упругие, хотя бы даже и не идеально, так как тогда шары сразу после удара отделяются. В этом последнем случае (упругих шаров) мы имеем связь, которая существует во время удара, но не существовала до удара и не сохранилась после него. Действительное перемещение, которое последует за ударом, не будет принадлежать к числу допускаемых связью.

Вообразим, наконец, две точки, связанные нерастяжимой нитью и брошенные в пространство. Допустим, что одну из точек мы внезапно схватываем и что в этот момент нить обрывается. Мы видим, что иа одну из точек внезапно накладывается сохраняющаяся связь, так как она останавливается и остается неподвижной. В то же время другая связь, существовавшая до и во время удара, перестает существовать после него, так как нить обрывается. Эта связь принадлежит к третьей категории.

518. Следствия из общего уравнения. Очевидно, что из общего уравнения (2) могут быть выведены следствия, аналогичные тем, которые мы вывели в динамике из общего уравнения динамики, установленного в главе XXIII. Например, мы можем получить теоремы,



аналогичные теоремам, доказанным в пп. 436 и 437, предполагая последовательно, что связи, существующие в момент удара, допускают поступательное перемещение всей системы параллельно оси или совокупное вращение вокруг оси. Однако мы ограничимся выводом из этого уравнения только теоремы Карно.

619. Теорема Карно. Рассмотрим систему со связями без трения, совершающую известное движение. Допустим, что в момент на эту систему внезапно накладываются новые связи без трения. Это вызовет удар, который будет продолжаться в течение промежутка времени t, - q- будем рассматривать его как бесконечно короткий. В течение этого времени скорости различных точек, равные вначале .....изменятся и станут v,, ... В рассматриваемом

случае заданные удары с проекциями а, Ь, с равны нулю, так как единственными ударами, действующими на систему, будут те, которые происходят от связей, первоначально существовавших или внезапно наложенных. Тогда общее уравнение (2) принимает вид

2 [Д (тх) Зл; + Д (ту) Ьy-{- (mz) bz\ = 0. (3)

Это уравнение должно удовлетворяться при любых возможных перемещениях, допускаемых связями, существующими во время удара. Теорема Карно заключается в следующем.

Если первоначальные связи и связи, внезапно наложенные, сохраняются после удара, то кинетическая энергия, потерянная за время удара, равна кинетической энергии, которую имела бы система, если бы скорость каждой точки равнялась ее потерянной скорости.

В самом деле, так как уравнение (3) должно удовлетворяться при любых возможных перемещениях, допускаемых связями, существующими в момент удара, то в рассматриваемом случае оно должно удовлетворяться и при действительном перемещении, которое последует за ударом, так как связи при этом сохраняются. Но для этого действительного перемещения

8л; = x,dt, Ьу= у[ dt, bz = dt

и уравнение (3) приводится к виду

2 [Д (тх) x[ + (ту) X + Д (mz) z[\ = О,

или после замены t(mx), ... их значениями т{х-х, . . .,-к виду

т[{х- X,) < + (X - X) У[ + К - = 0. (4)

Скорости до удара, скорости после удара и потерянные скорости W выражаются равенствами:

K=x:+y,+z:, vi=x:+y:+z:,

=- <Г+(X - у[Г+« - <г-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0039