Главная Промышленная автоматика.

L М N

т. е.

Pl Ч1 г, что совпадает с уравнениями оси ш,.

515. Свободное твердое тело. Представим себе свободное твердое тело, совершающее известное движение. В момент к нему

прикладываются различные удары Р,, Р,.....Р„, действующие все

в течение одного и того же бесконечно малого промежутка времени t, - Тогда скорости различных точек тела подвергнутся резким изменениям, которые и требуется вычислить.

Известно, что распределение скоростей в твердом теле зависит только от скорости центра тяжести и от мгновенной угловой

же составляющие после удара. Обозначим, кроме того, через L, М, N суммы моментов ударов относительно трех осей координат.

Согласно теореме моментов изменение суммы Ар моментов количеств движения относительно оси Ох равно сумме моментов внещних ударов. Последняя сумма приводится к L, так как момент удара Р равен нулю, и мы, таким образом, имеем

AiPi-po) = L.

Точно так же

В(д, - до)=М, С(г, - Го)М.

Таким образом, р,, д,, г, определяются из линейных уравнений.

Если надо вычислить удар Р связи, то достаточно применить теорему о проекциях количеств движения.

Пример. Случай одного удара. Пусть а, Ь, с - проекции на оси Оху приложенного удара и пусть х, у, г - координаты его точки приложения. Имеем

L = ус - гЬ, М = га - хс, N = хЬ - уа.

Полученные ранее формулы определяют р,, д,, г,. Допустим, что ро, до. Го равны нулю, т. е. что тело в момент неподвижно. Тогда р,, д,, г, определяются формулами

Api = L, Вдх = М, Сг, = ЛГ.

Эти равенства показывают, что ось мгновенного вращения м, сообщенного телу рассматриваемом ударом, являете диаметром эллипсоида инерции, сопряженным с плоскостью, проведенной через точку О и вектор удара. В самом деле, если через X, Y, Z обозначить текущие координаты, то уравнение этой плоскости имеет вид

LX + MYNZ = Q,

и диаметр, сопряженный с этой плоскостью для эллипсоида

ЛЛГ + ВП- С22 = 1.

определяется уравнениями

АХ BY CZ



W - Vo - V

Этот вектор w называется потерянной скоростью точки. Если обозначить через х, у, z и х[, у[, z[ проекции скоростей Vq и v,, то проекции скорости w будут

Вектор mw представляет собой потерянное количество движения. Его проекции равны

{х~х[), т{у-у[), /«(4-.;)

скорости (В вращения вокруг оси, проходящей через центр тяжести. Обозначим через \, щ, С составляющие скорости центра тяжести по трем неподвижным осям Orf, и через р, д, г - составляющие мгновенной угловой скорости ш по трем главным осям инерции Ох, Оу, Gz тела для его центра тяжести. Так же как и выше, будем обозначать индексами О и 1 значения этих шести величин в моменты и t,.

Пусть а„ Ь,, с, - проекции удара /*, на неподвижные оси Obf,. По теореме проекций количеств движения имеем

Ж($1-0 = 2«V. М{щ[-, = К, M{r-Q = c„ (1)

где М - вся масса. Пусть, далее, Ц, Ж,, Л/, - моменты удара Р, относительно главных осей Gxyz. Тогда, применяя последовательно к этим осям теорему моментов количеств движения (п. 514), получим

А (р, -Ро) = 2 v. В (д, - ft) = 2 М„ С {г, - Го) = 2 Av (2)

Эти шесть уравнений (1) и (2) определяют t\, р,, ft, г,. Их можно получить непосредственно, исходя из уравнений движения свободного твердого тела, умножением этих уравнений на dt и последующим интегрированием от t до t,.

Примечание. Мы видим, что задачи удара приводятся к решению алгебраических уравнений, а не к интегрированию, как задачи динамики.

IV. Общее уравнение теории удара. Теорема Карно

616. Общее уравнение. В теории удара можно ввести принцип, аналогичный принципу Даламбера, который, впрочем, является непосредственным следствием последнего.

Рассмотрим материальную точку массы т с координатами х, у, z. Обозначим через х, у, z производные от х, у, z по времени, т. е. проекции скорости точки. Удар продолжается бесконечно малый промежуток времени t, - q. Пусть Vq и - скорости точки в моменты 0 и 1 и w - геометрическая разность векторов Vq и v,.



- Д(т2)Н-2с = 0.

Их можно интерпретировать, говоря, что существует равновесие между потерянным количеством движения а приложенными к точке ударами. Если, следовательно, сообщить точке произвольное возможное перемещение Зл;, Ьу, Ьг, то сумма работ потерянного количества движения и ударов равна нулю:

- Д (тл;) 8л; ~ Д (ту) Ьу -М,тг) Ьг-\-{аЬх-\-ЬЬу~\-сЬг) = 0.

Вообразим теперь систему со связями без трения и допустим, что в течение бесконечно малого промежутка времени t, - она испытывает заданные удары Р,, Р, .. , Рп < проекциями

(«1. h. Ci). (2. Сг). ...

Можно рассматривать каждую точку системы как свободную при условии, что к ней прикладываются удары, вызванные связями, которые имеют место в промежутке - о- иначе говоря, прикладываются удары связей.

Если, следовательно, сообщить различным точкам системы произвольные возможные перемещения, то сумма работ потерянных количеств движения, заданных ударов и ударов связей будет равна нулю. Но если сообщенные возможные перемещения допускаются связями, имеющими место в промежутке времени - t, то сумма работ ударов связей будет сама по себе равна нулю. Следовательно, сумма работ потерянных количеств движения и заданных ударов будет также равна нулю. Обозначим через йл;, Ьу, Ьг произвольное перемещение точки X, у, г, допускаемое связями, имеющими место в промежутке времени t, - t. Тогда только что высказанное свойство выразится уравнением

2 [- Д (,тх) 8л; - Д {ту) Ьу - Ь, {тг) 8г + а 8л; -\-Ь Ьу~1гс Ьг] = 0.

в которое входят только заданные удары (а, Ь, с), причем сумма распространена на все точки системы. Это и будет уравнением теории

- Ь.{тх), -{my), ~А(тг).

если, как и выше, А(тх) обозначает изменение т(х[ - ху

Этот вектор mw будет играть здесь ту же роль, что сила инерции в принципе Даламбера.

В самом деле, уравнения, выражающие для точки теорему проекций количеств движения, могут быть написаны так:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [144] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

0.0044